Chủ đề này có 3 trả lời

[uyenha]

chứng minh rằng phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=2001 $ có vô số nghiệm nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uyenha: 11-10-2012 - 17:03

[nguyenta98]

chứng minh rằng phương trình $x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=2001 $ có vô số nghiệm

Chắc ý bạn ấy là vô số nghiệm nguyên
Giải như sau:
Chọn $x=(10+r),y=(10-r),z=-(l+11),t=l$
Khi đó $x^3+y^3+z^3+t^3=-33l^2-363l+60r^2+2000-1331=2001$
$\Rightarrow -33l^2-363l+60r^2=1332 \Rightarrow 20r^2=444+11(l^2+11l)$
$\Rightarrow 80r^2=1776+11(4l^2+44l)$
$\Rightarrow 80r^2=445+11(2l+11)^2$ Đặt $2l+11=k$
Khi đó $80r^2-11k^2=445 \Rightarrow k=5v$
$\Rightarrow 16r^2-55v^2=89$
Dễ thấy $(r_0,v_0)=(3,1)$ suy ra theo công thức phương trình Pell thì phương trình vô số nghiệm, $đpcm$

[uyenha]

Chọn x=(10+r),y=(10-r),z=-(l+11),t=l

sao chọn như thế vậy ban

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uyenha: 11-10-2012 - 17:02

[nguyenta98]

Chọn x=(10+r),y=(10-r),z=-(l+11),t=l

sao chọn như thế vậy ban

Hề hề, do sự mềm dẻo của người làm toán thôi mà bạn
Trước tiên ta cần một số hằng đẳng thức sau đây $(S+r)^3+(S-r)^3$ và $-(l+t)^3+l^3$ từ đó chọn $t$ cho thích hợp, ở trên mình chọn $t$ phải lẻ và $t$ chia $3$ dư $2$ (bằng xét modulo) và $S$ chính bằng $10$ vì $2.10^3+1=2001$