3 replies to this topic

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{2}\frac{a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

Edited by HÀ QUỐC ĐẠT, 11-10-2012 - 11:57.

[WhjteShadow]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{2}\frac{a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

Đầu tiên ta có phân tích:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}- \frac{9}{4}.\frac{\sum a^2(b+c)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$
$$= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}-\left(\frac{9}{4}.\frac{\sum a^2(b+c)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}-\frac{3}{2} \right)$$
$$= \sum (a-b)^2.\frac{1}{2(a+c)(b+c)}- \frac{3.\sum (a-b)^2.c}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$
$$= \sum (a-b)^2.\left(\frac{1}{2(a+c)(b+c)}-\frac{3c}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right)$$
$$= \sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2.\left[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\frac{1}{2(a+c)(b+c)}-\frac{3c}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right]$$
Và mặt khác ta lại có:
$$\frac{9}{2}.\left(\frac{\sum a^2(b+c)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}-\frac{a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right)$$
$$=\frac{9}{4}.\frac{\sum c^2.(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$
Vậy điều phải chứng minh đuợc viết lại thành:
$$\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2.\left[\frac{9c^2}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}+(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\frac{1}{2(a+c)(b+c)}-\frac{3c(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}\right]\geq 0\,(*)$$
Nhưng ta lại có:
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\frac{1}{2(a+c)(b+c)}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2.(a+b)}{2(a+b)(a+c)(b+c)}$$
$$\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^4}{4(a+b)(a+c)(b+c)}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^4}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$
Vậy nên:
$$\frac{9c^2}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}+(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\frac{1}{2(a+c)(b+c)}\geq \frac{9c^2}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}+\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^4}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$
$$\geq \frac{6c(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \frac{3c(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$
Suy ra $(*)$ ba0 gồm toàn những đại lượng không âm.
Ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ $\blacksquare$

Edited by WhjteShadow, 11-10-2012 - 16:17.

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Mình làm thế này
Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$$
Ta đi chứng minh
$$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{2}\frac{a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}}{ab+bc+ca}$$
$$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}\geq 9\sqrt{abc}(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})$$
$$\Leftrightarrow (a+b+c)^{6}\geq 81abc(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}$$
Dễ thấy
$$ 81abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 81abc(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2} $$
Và $$(a+b+c)^{6}\geq 27(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)^{2}$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$ 27(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)^{2}\geq 81abc(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}$$
$$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$$
$$\Leftrightarrow (ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}\geq 0$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Edited by HÀ QUỐC ĐẠT, 11-10-2012 - 18:53.

[BoBoiBoy]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{2}\frac{a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

Môt cách giải khác cho bài này:
BĐT tương đương với:
$$a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\ge \frac{9}{2}(a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab})$$
Mà theo $Schur$ $a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 2[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]$ nên ta chỉ cần chứng minh:
$$2[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]+abc(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\ge \frac{9}{2}(a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab})$$
$$\Leftrightarrow 2(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b})+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{9}{2}(\frac{a}{\sqrt{bc}}+\frac{b}{\sqrt{ac}}+\frac{c}{\sqrt{ab}})$$

(đúng do $a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 4.\frac{a}{b+c}\ge 4.\frac{a}{2\sqrt{bc}}$)
------------------------------------
Đoạn cuối ngược dấu hay sa0 ấy ông Khang

Edited by WhjteShadow, 11-10-2012 - 19:19.