Chủ đề này có 4 trả lời

[CelEstE]

1, Cho:$\left. \begin{array}{l}
a,b > 0\\
a + b = 1
\end{array} \right\} CMR: (1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) \ge 9$ ( Câu này dùng Cô-si chắc là ấn tượng )
2, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR:
$\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
3, Cho $a+b=2$. CMR: $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \le 2$
4, Cho $a,b,c \ge 0;a + b + c = 1$ CMR:
a, $\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} < 3,5$
b, $\sqrt {a + b} + \sqrt {c + b} + \sqrt {a + c} \le \sqrt 6$

[kenvuong]

2, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR:
$\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$, ta đk:
$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}=2b$
Tương tự: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\geq 2a\\\\ \frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq 2c$
Cộng vế với vế =>Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 12-10-2012 - 20:47

[kenvuong]

1, Cho:$\left. \begin{array}{l}
a,b > 0\\
a + b = 1
\end{array} \right\} CMR: (1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) \ge 9$ ( Câu này dùng Cô-si chắc là ấn tượng )

Áp dụng BĐT: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$, ta đk:
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=(2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})=5+2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 9$
Dấu "=" xảy ra <=> a=b= $\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 12-10-2012 - 20:56

[CelEstE]

1, $(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) \ge 9 \Leftrightarrow (a + 1)(b + 1) \ge 9{\rm{a}}b$
áp dụng AM-GM cho 3 số thực dương:
$\left. \begin{array}{l}
a + 1 = a + a + b \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}b}}\\
b + 1 = b + b + a \ge 3\sqrt[3]{{{b^2}a}}
\end{array} \right\} \Rightarrow (a + 1)(b + 1) \ge 9\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = $

[Tru09]

4, Cho $a,b,c \ge 0;a + b + c = 1$ CMR:
a, $\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} < 3,5$
b, $\sqrt {a + b} + \sqrt {c + b} + \sqrt {a + c} \le \sqrt 6$

Chém tí nào :
Cả 2 đều sử dụng bdt quen $\in$ $\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} \leq \sqrt{3(a+b+c)}$
a,$\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \leq \sqrt{3(a+b+c+3)} =\sqrt{12} <3.5$
b,$\sqrt {a + b} + \sqrt {c + b} + \sqrt {a + c} \leq \sqrt{3(a+b+c+a+b+c)}=\sqrt{6}$