Chủ đề này có 12 trả lời

[leminhansp]

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

Năm học 2012 - 2013 (Ngày thi 12/10/2012)

Môn: Toán học

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Bài 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{1}x^{4}-2y^{3}-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}\\ y^{4}+2x^{3}-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3} \end{array} \right.$$
Bài 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
$$(x+1)(x+2)(x+8)(x+9)=y^{2}$$
Bài 3: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, $AB$ là đường kính cố định của đường tròn $(O)$. Điểm M thay đổi trên $(O)$, $N$ là điểm chính giữa của cung $MB$. Xác định $M$ để diện tích tứ giác $AMNB$ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 4: Cho phương trình:
$$(2x+m)^{3}-3x+1=0$$
Xác định $m$ sao cho phương trình có đúng hai nghiệm lớn hơn $\frac{1}{3}$
Bài 5: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z\le 1$.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=4x+3y+24z+\frac{19}{x}+\frac{25}{3y}+\frac{8}{3z}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-10-2012 - 00:02

[thedragonknight]

Chém câu 2:
Đặt $a=x+5$.Khi đó pt trở thành:
$(a-4)(a-3)(a+3)(a+4)=y^2$
$\Leftrightarrow (a^2-9)(a^2-16)=y^2\Leftrightarrow a^4-25a^2+144=y^2\Leftrightarrow (2a^2-25)^2-4y^2=49\Leftrightarrow (2a^2-25+4y)(2a^2+25-4y)=49$
Giải ra ta đc các cặp nghiệm:
$(-1;0);(-2;0);(-8;0);(-9;0);(-5;12);(-5;-12);(0;12);(0;-12);(-10;12);(-10;-12)$
P/s: hết nghiệm chưa nhỉ.

[T M]

Bài hệ phương trình đã có trong một cuốn sách của Titu, có thời gian mình sẽ dẫn link
__

Bài thi giờ toàn có sẵn trong sách vầy
__

Em nó đây, ở trung mục hệ phương trình đại số nhé, đáp án ở phần sau

http://www.mediafire...cdli4th3954d0aw

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 14-10-2012 - 18:14

[hoangtrong2305]

Bài 4: Cho phương trình:
$$(2x+m)^{3}-3x+1=0$$
Xác định $m$ sao cho phương trình có đúng hai nghiệm lớn hơn $\frac{1}{3}$

$(2x+m)^{3}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 8x^{3}+12mx^{2}+(6m^{2}-3)x+m^{3}+1=0$

Đặt $f(x)= 8x^{3}+12mx^{2}+(6m^{2}-3)x+m^{3}+1=0$

Nhận xét:

Do $f(x)$ là hàm bậc 3, mà $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm nhỏ nhất trong 2 nghiệm đấy phải lớn hơn $\frac{1}{3}$

$f'(x)=24x^{2}+24mx+6m^{2}-3$

$f'(x)=0\Leftrightarrow 24x^{2}+24mx+6m^{2}-3=0$

$\Delta '>0\Leftrightarrow 72 >0$ (Đúng)

Giả sử $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của $f'(x)=0$ (với $x_{1}<x_{2}$)

Từ phần nhận xét nêu trên,kết hợp yêu cầu bài toán, ta có:

$x_{1}>\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{-12m-\sqrt{72}}{24}>\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 12m+6\sqrt{2}<8$

$\Leftrightarrow m<\frac{4-3\sqrt{2}}{6}$

[leminhansp]

$(2x+m)^{3}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 8x^{3}+12mx^{2}+(6m^{2}-3)x+m^{3}+1=0$

Đặt $f(x)= 8x^{3}+12mx^{2}+(6m^{2}-3)x+m^{3}+1=0$

Nhận xét:

Do $f(x)$ là hàm bậc 3, mà $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm nhỏ nhất trong 2 nghiệm đấy phải lớn hơn $\frac{1}{3}$

$f'(x)=24x^{2}+24mx+6m^{2}-3$

$f'(x)=0\Leftrightarrow 24x^{2}+24mx+6m^{2}-3=0$

$\Delta '>0\Leftrightarrow 72 >0$ (Đúng)

Giả sử $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của $f'(x)=0$ (với $x_{1}<x_{2}$)

Từ phần nhận xét nêu trên,kết hợp yêu cầu bài toán, ta có:

$x_{1}>\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{-12m-\sqrt{72}}{24}>\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 12m+6\sqrt{2}<8$

$\Leftrightarrow m<\frac{4-3\sqrt{2}}{6}$

Chỗ này:
Do $f(x)$ là hàm bậc 3, mà $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm nhỏ nhất trong 2 nghiệm đấy phải lớn hơn $\frac{1}{3}$
Sao lại thế nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 15-10-2012 - 00:25

[leminhansp]

Em nó đây, ở trung mục hệ phương trình đại số nhé, đáp án ở phần sau

http://www.mediafire...cdli4th3954d0aw

Chỗ nào nhỉ

[T M]

Chỗ nào nhỉ

Trang 406 thầy à

[leminhansp]

Trang 406 thầy à

Có nhầm lẫn gì không nhỉ . Trang 406 đây?

[mekjpdoj]

Chỗ này:
Do $f(x)$ là hàm bậc 3, mà $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm nhỏ nhất trong 2 nghiệm đấy phải lớn hơn $\frac{1}{3}$
Sao lại thế nhỉ?

tui cũng thấy không ổn

[mekjpdoj]

câu 4)sao bạn khẳng định m dương mà lấy x1 là số nhỏ hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mekjpdoj: 23-10-2012 - 22:03

[hoangtrong2305]

Chỗ này:
Do $f(x)$ là hàm bậc 3, mà $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm nhỏ nhất trong 2 nghiệm đấy phải lớn hơn $\frac{1}{3}$
Sao lại thế nhỉ?

Vì bài này mình nghĩ như sau, dựa theo tính chất của hàm số liên tục và sự tương giao giữa 2 đồ thị

Do hàm bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nhưng đề yêu cầu chỉ có 2 nghiệm nên 1 trong 2 nghiệm đấy sẽ là điểm cực đại (hoặc cực tiểu) theo sự tương giao giữa 2 đồ thị (ở đây là sự tương giao giữa hàm bậc 3 và trục Ox)

Mà điểm cực đại (hoặc cực tiểu) lại chính là nghiệm của phương trình $y'=0$ và phương trình ấy phải có 2 nghiệm phân biệt

Mặt khác, đề lại yêu cầu 2 nghiệm ấy đều lớn hơn $\frac{1}{3}$ nên ta chỉ cần nghiệm nhỏ nhất của phương trình $y'=0$ lớn hơn $\frac{1}{3}$. Khi đó, điểm cực trị còn lại chắc chắn lớn hơn $\frac{1}{3}$ nên theo tính liên tục của hàm bậc 3 thì đồ thị sẽ cắt Ox tại 1 điểm lớn hơn $\frac{1}{3}$

Trên đây là ý tưởng của mình khi giải bài này, nếu có chỗ nào sai sót mong bạn giúp đỡ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 23-10-2012 - 22:28

[leminhansp]

Mình nghĩ bài giải của bạn còn nhiều thiếu sót:
1.

Do hàm bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nhưng đề yêu cầu chỉ có 2 nghiệm nên 1 trong 2 nghiệm đấy sẽ là điểm cực đại (hoặc cực tiểu) theo sự tương giao giữa 2 đồ thị (ở đây là sự tương giao giữa hàm bậc 3 và trục Ox)

Điều này đúng nhưng bạn lại chưa giải quyết nó triệt để. Theo như lập luận của bạn thì để phương trình bậc 3 có đúng hai nghiệm thì $y_{CĐ}.y_{CT}=0$ (điều kiện này bạn chưa giải quyết)

2.

Mặt khác, đề lại yêu cầu 2 nghiệm ấy đều lớn hơn $\frac{1}{3}$ nên ta chỉ cần nghiệm nhỏ nhất của phương trình $y'=0$ lớn hơn $\frac{1}{3}$. Khi đó, điểm cực trị còn lại chắc chắn lớn hơn $\frac{1}{3}$ nên theo tính liên tục của hàm bậc 3 thì đồ thị sẽ cắt Ox tại 1 điểm lớn hơn

Điều này chưa chính xác, vì có thể "nghiệm nhỏ nhất của phương trình $y'=0$ lớn hơn $\frac{1}{3}$" nhưng chưa chắc cả hai nghiệm của phương trình $y=0$ đều lớn hơn, chẳng hạn phương trình:
$x^3-\dfrac{9}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{4}=0$
Nghiệm của phương trình $y'=0$ là $\dfrac{1}{2}$ và $1$ đều lớn hơn $\dfrac{1}{3}$ nhưng nghiệm của phương trình $y=0$ lại là $\dfrac{1}{4}$ và $1$ có nghiệm $\dfrac{1}{4}$ nhỏ hơn $\dfrac{1}{3}$

[Crystal]

Bài 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{1}x^{4}-2y^{3}-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}\\ y^{4}+2x^{3}-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3} \end{array} \right.$$

Tham khảo tại đây.