Chủ đề này có 1 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Một bài rất hay được sáng tạo ra từ một cái rất hay
Cho $a,b,c> 0$ . Chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{x}{\sqrt{y^2+yz+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+zx+x^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+xy+y^2}}\geq \sqrt{3}$

[tim1nuathatlac]

Một bài rất hay được sáng tạo ra từ một cái rất hay
Cho $a,b,c> 0$ . Chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{x}{\sqrt{y^2+yz+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+zx+x^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+xy+y^2}}\geq \sqrt{3}$

Ta có bđt sau $\sum x\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right )=\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\leq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{3}$

Đặt VT của bđt là $L$ . Áp dụng bđt $Holder$ ta có

$L^{2}\left [ \sum x\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right ) \right ]\geq \left ( x+y+z \right )^{3}$

$\Rightarrow L^{2}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{\sum x\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right )}\geq 3$

$\Rightarrow L\geq \sqrt{3}$ $\square$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$