Một bài rất hay được sáng tạo ra từ một cái rất hay
Cho $a,b,c> 0$ . Chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{x}{\sqrt{y^2+yz+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+zx+x^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+xy+y^2}}\geq \sqrt{3}$
$\sum \frac{x}{\sqrt{y^2+yz+z^2}}\geq \sqrt{3}$
Bắt đầu bởi Secrets In Inequalities VP, 13-10-2012 - 21:34
#1
Đã gửi 13-10-2012 - 21:34
- HÀ QUỐC ĐẠT, WhjteShadow, 19kvh97 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 13-10-2012 - 21:49
Ta có bđt sau $\sum x\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right )=\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\leq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{3}$Một bài rất hay được sáng tạo ra từ một cái rất hay
Cho $a,b,c> 0$ . Chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{x}{\sqrt{y^2+yz+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+zx+x^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+xy+y^2}}\geq \sqrt{3}$
Đặt VT của bđt là $L$ . Áp dụng bđt $Holder$ ta có
$L^{2}\left [ \sum x\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right ) \right ]\geq \left ( x+y+z \right )^{3}$
$\Rightarrow L^{2}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{\sum x\left ( y^{2}+yz+z^{2} \right )}\geq 3$
$\Rightarrow L\geq \sqrt{3}$ $\square$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$
- HÀ QUỐC ĐẠT, Poseidont, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh