Chủ đề này có 5 trả lời

[minhson95]

Cho dãy số $(x_n)$ biết $x_1=4$ và $x_{n+1}=x_n^2-2$

Tìm $lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}$

[Crystal]

Cho dãy số $(x_n)$ biết $x_1=4$ và $x_{n+1}=x_n^2-2$

Tìm $lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}$

Ta có: \[x_n^2 = {x_{n + 1}} + 2 = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{{x_{n + 1}} - 2}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_n^2 - 4}}\]
Suy ra: \[\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_1^2 - 4}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{10}} \Rightarrow {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = 10\left( {\frac{{x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right)\]
$\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy tăng và không bị chặn trên nên \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{10x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right) = 10\]
Vậy: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} = \sqrt {10} $.

[minhson95]

Ta có: \[x_n^2 = {x_{n + 1}} + 2 = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{{x_{n + 1}} - 2}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_n^2 - 4}}\]
Suy ra: \[\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_1^2 - 4}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{10}} \Rightarrow {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = 10\left( {\frac{{x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right)\]
$\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy tăng và không bị chặn trên nên \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{10x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right) = 10\]
Vậy: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} = \sqrt {10} $.

$\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2}$

Đây là cái gì hả anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 16-10-2012 - 21:25

[Crystal]

$\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2}$

Đây là cái gì hả anh?

Ta có: $\prod\limits_{k = 1}^n {{x_k}} ,x \in \mathbb{R}$ là tích của $n$ số thực $x_1,x_2,...,x_n$.

Với $\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2}$ là tích của $n$ số $x_1^2,x_2^2,...,x_n^2$.

[E. Galois]

Cách khác:
Đặt $4=\alpha +\frac{1}{\alpha}, \alpha = 2+\sqrt 3$, ta sẽ chứng minh rằng:
$$u_n=\alpha^{2^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n-1}}},\forall n \geq 1 \ \ \ (1)$$
Dễ thấy $(1)$ đúng với $n=1$
Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$, ta có:
$$u_{k+1}=u_k^2-2=\left (\alpha^{2^{k-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{k-1}}} \right )^2-2=\alpha^{2^{k}}+\frac{1}{\alpha^{2^{k}}} $$
Ta có điều phải chứng minh.


Quay lại bài toán, ta có:

$$\left ( \alpha -\frac{1}{\alpha} \right )x_1.x_2...x_n=\left ( \alpha -\frac{1}{\alpha} \right )\left ( \alpha +\frac{1}{\alpha} \right )\left ( \alpha^2 +\frac{1}{\alpha^2} \right )... \left (\alpha^{2^{n-1}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n-1}}} \right )$$
$$=\left (\alpha^{2^n}-\frac{1}{\alpha^{2^n}} \right )$$

Do đó:
$$\lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}=\lim \frac{\alpha^{2^n}+\dfrac{1}{\alpha^{2^n}}}{\alpha^{2^n}-\dfrac{1}{\alpha^{2^n}}}\left ( \alpha-\frac{1}{\alpha} \right ) = \alpha-\frac{1}{\alpha} =2\sqrt 3$$

[minhson95]

Ta có: \[x_n^2 = {x_{n + 1}} + 2 = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{{x_{n + 1}} - 2}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_n^2 - 4}}\]
Suy ra: \[\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_1^2 - 4}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{10}} \Rightarrow {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = 10\left( {\frac{{x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right)\]
$\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy tăng và không bị chặn trên nên \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{10x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right) = 10\]
Vậy: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} = \sqrt {10} $.

Vẫn theo ý tưởng của anh Thành ta có:

$x_n^2= \frac{x_{n+1}^2-4}{x_n^2-4}=\frac{x_{n+1}+2}{x_n+2}.\frac{x_{n+1}-2}{x_n-2}$

$\rightarrow x_1x_2x_3...x_n=\sqrt{\frac{x_{n+1}^2-1}{x_1^2-4}}=\sqrt{\frac{x_{n+1}^2-1}{12}}$

Dễ thấy dãy số tăng và không bị chặn trên nên ta có:

$\rightarrow \lim(\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n})=\lim(\frac{\sqrt{12}x_{n+1}}{\sqrt{x_{n+1}^2-1}}) = \sqrt{12}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 22-10-2012 - 17:02