Chủ đề này có 1 trả lời

[yellow]

Tính $S=[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+[\sqrt[3]{3}]+...+[\sqrt[3]{20122013}]$

Sao chưa có ai giải dùm mình bài này nhỉ!

[hxthanh]

Tính $S=[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+[\sqrt[3]{3}]+...+[\sqrt[3]{20122013}]$

Sao chưa có ai giải dùm mình bài này nhỉ!

Ta có $19902511=271^3<20122013<272^3$
Xét $i$ trên các đoạn $[k^3;\;(k+1)^3-1]$ với $k=1,2,...,270$
mỗi đoạn có $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ số hạng
Trên mỗi đoạn này thì $\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor=k$
Đoạn cuối cùng $[271^3;\;20122013]$ có $219503$ số hạng

Như vậy

$S=\sum\limits_{i=1}^{20122013}\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor=\sum\limits_{k=1}^{270}\sum\limits_{i=k^3}^{k^3+3k^2+3k}\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor+\sum\limits_{i=19902511}^{20122013}\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor$

$S=\sum\limits_{k=1}^{270} \left(k(3k^2+3k+1)\right)+271\times 219503$

$S=59485313+\sum\limits_{k=1}^{270} \left(\dfrac{3(k+1)^4-2(k+1)^3-(k+1)^2}{4}-\dfrac{3k^4-2k^3-k^2}{4}\right)$

$S=59485313+\left(\dfrac{3\times 271^4-2\times 271^3-271^2}{4}-\dfrac{3\times 1^4-2\times 1^3-1^2}{4}\right)$

$S=4\;094\;701\;058$