Chủ đề này có 2 trả lời

[z0zLongBongz0z]

Cho a, b, c là các số thực thuộc $(0;1]$. CMR
$\left ( 1+\frac{1}{abc} \right )\left ( a+b+c \right )\geq 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

[WhjteShadow]

2 cách cho bài toán nhẹ nhàng này

Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$ và mặt khác ta lại có giả thiết $0<a,b,c\leq 1$.Vì vậy $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\geq 1$
Hay ta có:
$$\left(\frac{1}{a}-1\right).\left(\frac{1}{b}-1\right)+\left(\frac{1}{b}-1\right).\left(\frac{1}{c}-1\right)+\left(\frac{1}{c}-1\right).\left(\frac{1}{a}-1\right)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+3\geq 2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$
$$\Leftrightarrow a+b+c+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a+b+c-3\,\,\,(*)$$
Mà mặt khác the0 bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\frac{1}{a}+a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c\geq 2+2+2=6$
Vậy nên $2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a+b+c-3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3\,\,\,\,\,(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ chúng ta có:
$$a+b+c+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3$$
$$\Leftrightarrow \left(1+\frac{1}{abc}\right)(a+b+c)\geq 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Vậy ta có Điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\square$

BĐT tương đương
$$\dfrac{(a-1)(ab-1)}{ab}+\dfrac{(b-1)(bc-1)}{bc}+\dfrac{(c-1)(ca-1)}{ca} \ge 0$$
Đúng vì $0<a, b, c\le 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/79981-on-thi-d%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc-2012/

[xuanha]

Cho a, b, c là các số thực thuộc $(0;1]$. CMR
$\left ( 1+\frac{1}{abc} \right )\left ( a+b+c \right )\geq 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$(1+\frac{1}{abc})(a+b+c)\geq (1+\frac{27}{(a+b+c)^{3}})$
công việc bjo là CM: $(1+\frac{27}{(a+b+c)^{3}})(a+b+c)\geq 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3+\frac{9}{a+b+c}$ (1)
đặt t=a+b+c với t$\epsilon$(0;3]
khi đó (1) $\Leftrightarrow$ f(t)=$t^{3}-3t^{2}-9t+27\geq 0$ với $t\epsilon (0;3]$
cm điều này thì đơn giản rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanha: 18-10-2012 - 20:51