Chủ đề này có 15 trả lời

[Nguyễn Hoàng Nhi]

Tìm tất cả các hàm f: N* đến N* thỏa mãn:
1) f tăng thực sự
2) f(mn) = f(m)f(n) với mọi m,n thuộc N*

[Ronaldo]

Bài này quen quen. Bạn có thể dùng tính chất trù mật của tập số hữu tỉ để giải bài này .

[QUANVU]

dùng tính chất trù mật của tập số hữu tỉ

Thử làm xem nào?

[Ronaldo]

okie, anh bạn Quan Vu đừng có nóng, chẳng hay ho đâu. Tôi chỉ nói hướng như thế, nếu không giải được thì tôi nói tiếp bước tiếp theo. Tôi thấy anh bạn nóng thế chẳng để làm đếch gì cả.
Tôi nói nốt phát này : rồi bái bai anh bạn . Học toán mà cứ thích nói toẹt lời giải ra là tôi ghét nhất trên đời. Muốn giỏi toán thì phải chớp ý lấy chốt bài mà tự giải chứ.
Sử dụng tính chất hàm liên tục sau đây trên tập trù mật:
Cho 2 hàm f,g :[a,b]--> R và A là tập con trù mật trong [a,b]
Biết f(x)=g(x) với mọi x trong A và f, g là hàm liên tục
Khi đó f(x)=g(x) với mọi x trong [a,b]

Tính chất này vẫn đúng nếu ta thay f là hàm đơn điệu và g là hàm liên tục.

Các bạn vẫn dùng thường xuyên cái khỉ này để làm bài về phương trình hàm Cauchy. Thế thì nó chẳng khác đâu đối với bài này .
Có thể tham khảo cuốn 200 bài tập giải tích vô địch gì đó...

Tìm một hàm thì có nhiều phương pháp , bài toán trên thuộc dạng cổ điển rồi .
Nếu các bạn vẫn chưa làm được thì hỏi Quan Vu, tôi không làm được đâu

[mitdac]

okie, anh bạn Quan Vu đừng có nóng, chẳng hay ho đâu. Tôi chỉ nói hướng như thế, nếu không giải được thì tôi nói tiếp bước tiếp theo. Tôi thấy  anh bạn nóng thế chẳng để làm đếch gì  cả.
Tôi nói nốt phát này : rồi bái bai anh bạn . Học toán mà cứ thích nói toẹt lời giải ra là tôi ghét nhất trên đời. Muốn giỏi toán thì phải chớp ý lấy chốt bài mà tự giải chứ.
  Sử dụng tính chất hàm liên tục sau đây  trên tập trù mật:
Cho 2 hàm f,g :[a,b]--> R và A là tập con trù mật trong [a,b]
Biết  f(x)=g(x) với mọi x trong A  và f, g là hàm liên tục
Khi đó f(x)=g(x) với mọi x trong [a,b]

Tính chất này vẫn đúng nếu ta thay f là hàm đơn điệu và g là hàm liên tục.

Các bạn vẫn dùng thường xuyên cái khỉ này để làm bài về phương trình hàm Cauchy. Thế thì nó chẳng  khác đâu  đối với bài này .
Có thể tham khảo cuốn 200 bài tập giải tích vô địch gì đó... 

Tìm một hàm thì có nhiều phương pháp , bài toán trên thuộc dạng cổ điển rồi .
Nếu các bạn vẫn chưa làm được thì hỏi Quan Vu, tôi không làm được đâu

Híc , tớ dốt nát nên không thể nắm được ý tưởng của bạn dù đã rất cố gắng , hy vọng bạn chỉ giáo thêm . Chẳng hạn ý tưởng xét hàm trên tập Q thì liên hệ như thế nào với hàm trên N* .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mitdac: 08-12-2005 - 20:36

[Ronaldo]

Để thú vị hơn , ta xét bài toán f: N--> R+ . Thế cho nó hay .
Đương nhiên là f(1)=1 rồi , cho qua.
Đặt f(2)= a > 1
Nhận xét rằng http://dientuvietnam...tex.cgi?f(2^{n})=a^{n}
xét số m dương bất kì , không chơi các số dạng http://dientuvietnam...metex.cgi?2^{n} nữa .
Với mọi k nguyên dương tồn tại sô n nguyên dương thỏa mãn :

Sử dụng điều kiện hàm f tăng
Ta có ngay

Ta có

Lưu ý rằng : với sự xác định của n và k như trên thì phân số n/k hội tụ , tới lnm/ln2 . Từ đó suy ra rằng
Thực ra là phải là a mũ log m cơ số 2. Nhưng mà mình không biết đánh như thế nào???

Từ đây : dựa vào các hàm đã biết ta có thể thêm một vài bài phương trình hàm .
Nhận xét : phương trình hàm trên tập liên tục có vẻ dễ hơn phương trình hàm trên tập rời rạc, mặc dù lớp hàm cho ra, vẫn thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi camum: 08-12-2005 - 22:54

[TieuSonTrangSi]

Thực ra là phải là a mũ log m cơ số 2. Nhưng mà mình không biết đánh như thế nào???

,

[tex]a^{\log_2 m} = m^t,\qquad t=\log_2 a[/tex],

Có lẽ bạn camum hiểu lầm : QUANVU dùng smilie không nhất thiết phải có nghĩa là anh ta "nóng", hoặc đòi hỏi phải nói "toẹt" ra lời giải liền.

[QUANVU]

okie, anh bạn Quan Vu đừng có nóng, chẳng hay ho đâu. Tôi chỉ nói hướng như thế, nếu không giải được thì tôi nói tiếp bước tiếp theo. Tôi thấy  anh bạn nóng thế chẳng để làm đếch gì  cả.
Tôi nói nốt phát này : rồi bái bai anh bạn . Học toán mà cứ thích nói toẹt lời giải ra là tôi ghét nhất trên đời. Muốn giỏi toán thì phải chớp ý lấy chốt bài mà tự giải chứ.
  Sử dụng tính chất hàm liên tục sau đây  trên tập trù mật:
Cho 2 hàm f,g :[a,b]--> R và A là tập con trù mật trong [a,b]
Biết  f(x)=g(x) với mọi x trong A  và f, g là hàm liên tục
Khi đó f(x)=g(x) với mọi x trong [a,b]

Tính chất này vẫn đúng nếu ta thay f là hàm đơn điệu và g là hàm liên tục.

Các bạn vẫn dùng thường xuyên cái khỉ này để làm bài về phương trình hàm Cauchy. Thế thì nó chẳng  khác đâu  đối với bài này .
Có thể tham khảo cuốn 200 bài tập giải tích vô địch gì đó... 

Tìm một hàm thì có nhiều phương pháp , bài toán trên thuộc dạng cổ điển rồi .
Nếu các bạn vẫn chưa làm được thì hỏi Quan Vu, tôi không làm được đâu

Chú mày bị sao vậy nhóc?Đọc lại đầu bài đi!(Chú ý đến tập mà hàm xác định)

@Mấy cái chú mày viết toàn là mấy cái thứ ... cả.

[mitdac]

Để thú vị hơn , ta xét bài toán f: N--> R+ . Thế cho nó hay .
   Đương nhiên là f(1)=1 rồi , cho qua.
  Đặt f(2)= a > 1
Nhận xét rằng http://dientuvietnam...tex.cgi?f(2^{n})=a^{n}  
  xét số m dương bất kì , không chơi các số dạng http://dientuvietnam...metex.cgi?2^{n} nữa .
Với mọi k nguyên dương tồn tại sô n nguyên dương thỏa mãn :
 
Sử dụng điều kiện hàm f tăng
Ta có ngay

Ta có 
 
Lưu ý rằng : với sự xác định của n và k như trên thì phân số n/k hội tụ , tới lnm/ln2 .

Đến đây là ổn rồi dù vẫn chưa hình dung ra sự hội tụ tới lnm/ln2 . Rất thông minh , khâm phục . Tiếp theo

Từ đó suy ra rằng .Thực ra là phải là a mũ log m cơ số 2

Vậy là vẫn phụ thuộc vào a , mà a vẫn chưa biết . Thêm nữa , chưa chắc đã nguyên dương đâu .
-------------------------------------------------------
@QuanVu : Ngày trước bác nt cho tớ vì một chuyện tương tự thế này , bác nhớ không ? Vậy bác để ý làm gì cho mau già , các chú bé còn "trẻ người non dạ" ( copy nguyên văn của bác ) mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mitdac: 09-12-2005 - 14:34

[QUANVU]

Đâu có gì đâu? Ham vui tí thôi mà?

[TieuSonTrangSi]

Đến đây là ổn rồi dù vẫn chưa hình dung ra sự hội tụ tới lnm/ln2 .

Lấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ln của http://dientuvietnam...etex.cgi?2^{n(k)}<m^k<2^{n(k)+1}, ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k\rightarrow\infty thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{n(k)}{k} bị kẹp giữa hai biểu thức có giới hạn bằng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f có giá trị trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}^+. Vậy, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m thì chọn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t\in\mathbb{N}. Trong cách giải của bạn camum, cơ số http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?2 thật ra không "thiết yếu" lắm : thế nó bằng 3, 4, 5... cũng được. Chủ yếu là dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(m)=m^t cuối cùng thôi.

Tôi đề nghị trong chủ đề này, mình chỉ nên trao đổi bình tĩnh, nhã nhặn về bài toán đưa ra, tránh phê phán, đả kích cá nhân.

[Ronaldo]

bạn mitdac đọc kĩ hộ chứ. Bạn nhìn xem : Nếu xác định được f(2)rồi thì hàm là duy nhất. Nên N hay R không còn quan trọng nữa .
Với cách này thì bạn có thể làm bài
f(mn)=f(m)+f(n)
f tăng : N--> R , à bạn lưu ý tí nhé, lên đại học thì N là tập số nguyên dương

[mitdac]

1)

à bạn lưu ý tí nhé, lên đại học thì N là tập số nguyên dương 

À , hóa ra bạn học đh rồi à ? Tớ đang học lớp 14 thành ra không hiểu toán cao cấp đâu , bạn đừng dọa tớ nhé .
Nhân tiện , xin nói là tớ không hề biết bạn Camum nên không có thành kiến gì cả , thấy bác QV giống tớ ngày trước nên " nhắc nhở " thôi , vi thế nếu bài post của tớ có chỗ nào không phải thì đó là không cố ý .

2)
Tóm lại nghiệm của bạn là
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(m)=&#091;f(2)]^{log_{2}m} . Sau đó bạn đặt nghiệm là m^t ? Tớ nói không sai chứ ?

Vậy thì mọi nghiệm phụ thuộc vào f(2) . Để nghiệm thỏa mãn thì t N --> f(2) = 2^p . Ờ , chính xác rồi !
------------------------------------------------
Hihi vừa kiểm tra vừa gõ ,post lên một cách chân thực nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mitdac: 09-12-2005 - 21:12

[hoang]

Luu y them la voi >0 cho truoc ta co

1^, 2^,..., n^ ,... la day nguyen khi va chi khi la so nguyen

[QUANVU]

Ha ha,chủ de nay lai co nhieu nguoi doc roi.

@Chu nao gach de nen bai cua anh vay?Trong ban qua,nen xoa han di cho no dep dien dan

[emvaanh]

Bài của hoang là một bài thi Putnam năm nào đó, nhưng hồi cấp ba thì mình có làm thử. Bài này khá hay, và có thể chọn để thi vòng hai được...