Chủ đề này có 1 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Cho đường tròn $T_1$ tâm $O_1$ bán kính $R_1$ và đường tròn $T_2$ tâm $O_2$ bán kính $R_2$. Tìm điểm $M$ sao cho tỉ số các phương tích của nó đối với hai đường tròn đã cho bằng hằng số đại số $k$, với $k\neq 1$.

[Dramons Celliet]

Bài toán: Cho đường tròn $T_1$ tâm $O_1$ bán kính $R_1$ và đường tròn $T_2$ tâm $O_2$ bán kính $R_2$. Tìm điểm $M$ sao cho tỉ số các phương tích của nó đối với hai đường tròn đã cho bằng hằng số đại số $k$, với $k\neq 1$.

Bài này hay quá đây nghĩ hoài mới ra (mình chưa có phần mềm vẽ hình nên không vẽ hình được nhé ).
Ai chỉ mình làm sao cho cái chữ $P$ trong phương tích nó giống trong sách với, mò hoài không ra
====
Lời giải:
Giả sử có điểm $M$ thỏa mãn: $\dfrac{P\left ( M/T_1 \right )}{P\left ( M/T_2 \right )}=k$ hay:
$\dfrac{MO_1^2-R_1^2}{MO_2^2-R_2^2}=k\\
\Leftrightarrow MO_1^2-kMO_2^2=R_1^2-kR_2^2 \ \ (1)$
Gọi $D$ là điểm chia đoạn thẳng $O_1O_2$ theo thỉ số đại số $k$, tức là $\dfrac{\overline{DO_1}}{\overline{DO_2}}=k$.
Vì $\dfrac{\overline{DO_1}}{\overline{DO_2}}=k$ nên $\overline{DO_1}-k\overline{DO_2} \ \ (2)$ và $\dfrac{\overline{DO_2}-\overline{DO_1}}{\overline{DO_2}}=1-k$.
Đặt $O_1O_2=a$ và chọn một chiều dương trên trục $O_1O_2$, chẳng hạn chiều từ $O_1$ đến $O_2$ thì $a=\overline{O_1O_2}=\overline{DO_2}-\overline{DO_2}$.
Lúc đó $\overrightarrow{DO_2}=\dfrac{a}{1-k}\overrightarrow{O_1O_2}$ hay $\overline{DO_2}=\dfrac{2}{1-k}$ và $\overline{DO_1}=k\overline{DO_2}=\dfrac{ak}{1-k} \ \ (3)$.
Kẻ $MH\perp O_1O_2$ tại $H$ ta có:
$MO_1^2=\overline{O_1H}^2+\overline{HM}^2=\left ( \overline{O_1D}+\overline{DH} \right )^2+\overline{HM}^2\\
MO_2^2=\overline{O_2H}^2+\overline{HM}^2=\left ( \overline{O_2D}+\overline{DH} \right )^2+\overline{HM}^2$
Từ đó và $(2)$ ta có:
$MO_1^2-kMO_2^2=\overline{O_1D}^2-k\overline{O_2D}^2+2\overline{DH}\left ( \overline{O_1D}-k\overline{O_2D} \right )+\left ( 1-k \right )\left ( \overline{DH}^2+\overline{HM}^2 \right )=DO_1^2-kDO_2^2+\left ( 1-k \right )DM^2 \ \ (4)$
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$ suy ra $\left ( 1-k \right )DM^2=R_1^2-kR_1^2+\dfrac{a^2k}{1-k}$ hay là $DM^2=\dfrac{R_2^2k^2+\left ( a^2-R_1^2-R_2^2 \right )k+R_1^2}{\left ( 1-k \right )^2} \ \ (5)$ do đó $DM=\alpha$ không đổi.
Nhận thấy rằng nếu $D$ chhia đoạn $O_1O_2$ theo tỉ số đại số $k$ thì $\overrightarrow{DO_2}=\dfrac{1}{1-k}\overrightarrow{O_1O_2}$ nên $D$ được xác định duy nhất.
Vậy quỹ tích của những điểm $M$ là đường tròn tâm $D$, bán kính $\alpha$ được xác định theo $(5)$.