Chứng minh đa thức $f(x)=(x-1)(x-2)...(x-2012)-1$ không phân tích được thành tích 2 đa thức với hệ số nguyên.
CM $f(x)=(x-1)(x-2)...(x-2012)-1$ không phân tích được thành tích đa thức với hệ số nguyên.
Bắt đầu bởi Zaraki, 18-10-2012 - 14:24
#1
Đã gửi 18-10-2012 - 14:24
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- hxthanh yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 18-10-2012 - 14:53
yeutoan11
-
- Thành viên
-
- 307 Bài viết
Sĩ quan
Giả sử $f(x)$ phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc dương và hệ số nguyênChứng minh đa thức $f(x)=(x-1)(x-2)...(x-2012)-1$ không phân tích được thành tích 2 đa thức với hệ số nguyên.
$f(x)=P(x).G(x)$
Khi đó :
$f(i)=P(i).G(i)=-1 \forall i=\overline{1,2012}$
Vậy $P(i)$ và $G(i)$ nhận giá trị đối nhau $1$ và $-1$
$\Rightarrow P(i)+G(i)=0 (\forall i=\overline{1,2012})$
Đa thức $P(x)+G(x)$ có $2012$ nghiệm phân biệt nhưng theo cách đặt thì $deg(P(x)+G(x)) \le 2011$
Vậy Đa thức $P(x)+G(x)$ là đa thức $0$
$\Rightarrow P(x)= -G(x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f(x) = - [P(x)]^2$
Vô lí vì $f(x)$ có hệ số cao nhất là $1$ còn $- [P(x)]^2$ có hệ số cao nhất là âm
- hxthanh, Zaraki, Mai Duc Khai và 3 người khác yêu thích
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
