Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c,x,y,z$ sa0 ch0 $a+x=b+y=c+z=1$.Chứng minh rằng:
$$(abc+xyz)\left(\frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx}\right)\geq 3$$
Bài toán 2.[Đề thi thử ĐH của toanphothong]
Ch0 các số thực $a,b,c\in [1;2]$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
$$P=(a+b+c).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2$$

[altair5927]

Mấy bài kiểu này chắc chỉ có cách đạo hàm thôi, làm theo hướng cổ điển rất khó. Mình hơi bận nên không làm chi tiết được bạn thông cảm nhé, mình xin nói qua về hướng làm thôi:
Bài 2:
Giả sử $2\geq c\geq b\geq a\geq 1$ (không mất tổng quát)
đặt $P=f(a)$ ta được $f'\left ( a \right )=...\leq 0$ (bạn tự biến đổi nhé, có $2\geq c\geq b\geq a\geq 1$ mà)
->$ P=f(a)\leq f(1)=(1+b+c)(1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=g(b)$
lại có $g'(b)=...\leq 0$ (đến đây lại tính tiếp đạo hàm theo b nhé)
-> $g(b)\leq g(1)=(2+c)(2+\frac{1}{c})^{2}=h©$
đến đây thì đạo hàm tiếp (với $1\leq c\leq 2$) thu được $h©\leq h(1)= 27$ (GTLN)
tìm giá trị nhỏ nhất thì tương tự, giả sử kiểu gì dễ đạo hàm là được
bài 1 mình chưa làm nhưng có lẽ hướng đi cũng tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi altair5927: 19-10-2012 - 20:29

[dark templar]

Mấy bài kiểu này chắc chỉ có cách đạo hàm thôi, làm theo hướng cổ điển rất khó. Mình hơi bận nên không làm chi tiết được bạn thông cảm nhé, mình xin nói qua về hướng làm thôi:

Ấy thế mà vẫn tồn tại lời giải cổ điển đó bạn
Với bài toán 2:Tìm GTNN trước nhé :
Theo AM-GM:
$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9$$
Nên:
$$P \ge 9\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9.\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$$
Vậy $P_{\min}=\frac{27}{2} \iff a=b=c=2$
Với GTLN,cũng vẫn sử dụng AM-GM:
$$P=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)^2 \le \left(\frac{a+\frac{2}{a}+b+\frac{2}{b}+c+\frac{2}{c}}{3} \right)^3$$
Để ý rằng $x+\frac{2}{x} \le 3;\forall x \in [1;2]$ nên:$P \le 27$
Vậy $P_{\max}=27 \iff a=b=c=1$.

Còn lại bài 1.Vẫn AM-GM nhưng ta phải khai triển trực tiếp BĐT này
Phép trai khiển cho ta:
$$\frac{c}{y}+\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{y}{c}+\frac{z}{a}+\frac{x}{b}-(a+b+c+x+y+z) \ge 3$$
Hay:
$$\left(\frac{c}{y}+\frac{y}{c} \right)+\left(\frac{a}{z}+\frac{z}{a} \right)+\left(\frac{b}{x}+\frac{x}{b} \right) \ge 6$$
Đến đây chắc bạn biết là AM-GM ở đâu rồi chứ

[altair5927]

Ấy thế mà vẫn tồn tại lời giải cổ điển đó bạn

ấy em chỉ bảo giải theo cách cổ điển khó chứ có bảo không giải được đâu =_= hic càng học càng thấy mình dốt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi altair5927: 20-10-2012 - 16:20