Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c,x,y,z$ sa0 ch0 $a+x=b+y=c+z=1$.Chứng minh rằng:
$$(abc+xyz)\left(\frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx}\right)\geq 3$$
Bài toán 2.[Đề thi thử ĐH của toanphothong]
Ch0 các số thực $a,b,c\in [1;2]$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
$$P=(a+b+c).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2$$
$$(abc+xyz)\left(\frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx}\right)\geq 3$$
Bắt đầu bởi WhjteShadow, 19-10-2012 - 12:03
#1
Đã gửi 19-10-2012 - 12:03
#2
Đã gửi 19-10-2012 - 20:26
Mấy bài kiểu này chắc chỉ có cách đạo hàm thôi, làm theo hướng cổ điển rất khó. Mình hơi bận nên không làm chi tiết được bạn thông cảm nhé, mình xin nói qua về hướng làm thôi:
Bài 2:
Giả sử $2\geq c\geq b\geq a\geq 1$ (không mất tổng quát)
đặt $P=f(a)$ ta được $f'\left ( a \right )=...\leq 0$ (bạn tự biến đổi nhé, có $2\geq c\geq b\geq a\geq 1$ mà)
->$ P=f(a)\leq f(1)=(1+b+c)(1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=g(b)$
lại có $g'(b)=...\leq 0$ (đến đây lại tính tiếp đạo hàm theo b nhé)
-> $g(b)\leq g(1)=(2+c)(2+\frac{1}{c})^{2}=h©$
đến đây thì đạo hàm tiếp (với $1\leq c\leq 2$) thu được $h©\leq h(1)= 27$ (GTLN)
tìm giá trị nhỏ nhất thì tương tự, giả sử kiểu gì dễ đạo hàm là được
bài 1 mình chưa làm nhưng có lẽ hướng đi cũng tương tự
Bài 2:
Giả sử $2\geq c\geq b\geq a\geq 1$ (không mất tổng quát)
đặt $P=f(a)$ ta được $f'\left ( a \right )=...\leq 0$ (bạn tự biến đổi nhé, có $2\geq c\geq b\geq a\geq 1$ mà)
->$ P=f(a)\leq f(1)=(1+b+c)(1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=g(b)$
lại có $g'(b)=...\leq 0$ (đến đây lại tính tiếp đạo hàm theo b nhé)
-> $g(b)\leq g(1)=(2+c)(2+\frac{1}{c})^{2}=h©$
đến đây thì đạo hàm tiếp (với $1\leq c\leq 2$) thu được $h©\leq h(1)= 27$ (GTLN)
tìm giá trị nhỏ nhất thì tương tự, giả sử kiểu gì dễ đạo hàm là được
bài 1 mình chưa làm nhưng có lẽ hướng đi cũng tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi altair5927: 19-10-2012 - 20:29
- WhjteShadow và robin997 thích
#3
Đã gửi 20-10-2012 - 14:13
Ấy thế mà vẫn tồn tại lời giải cổ điển đó bạnMấy bài kiểu này chắc chỉ có cách đạo hàm thôi, làm theo hướng cổ điển rất khó. Mình hơi bận nên không làm chi tiết được bạn thông cảm nhé, mình xin nói qua về hướng làm thôi:
Với bài toán 2:Tìm GTNN trước nhé :
Theo AM-GM:
$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9$$
Nên:
$$P \ge 9\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9.\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$$
Vậy $P_{\min}=\frac{27}{2} \iff a=b=c=2$
Với GTLN,cũng vẫn sử dụng AM-GM:
$$P=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)^2 \le \left(\frac{a+\frac{2}{a}+b+\frac{2}{b}+c+\frac{2}{c}}{3} \right)^3$$
Để ý rằng $x+\frac{2}{x} \le 3;\forall x \in [1;2]$ nên:$P \le 27$
Vậy $P_{\max}=27 \iff a=b=c=1$.
Còn lại bài 1.Vẫn AM-GM nhưng ta phải khai triển trực tiếp BĐT này
Phép trai khiển cho ta:
$$\frac{c}{y}+\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{y}{c}+\frac{z}{a}+\frac{x}{b}-(a+b+c+x+y+z) \ge 3$$
Hay:
$$\left(\frac{c}{y}+\frac{y}{c} \right)+\left(\frac{a}{z}+\frac{z}{a} \right)+\left(\frac{b}{x}+\frac{x}{b} \right) \ge 6$$
Đến đây chắc bạn biết là AM-GM ở đâu rồi chứ
- N H Tu prince, altair5927, WhjteShadow và 2 người khác yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#4
Đã gửi 20-10-2012 - 16:17
ấy em chỉ bảo giải theo cách cổ điển khó chứ có bảo không giải được đâu =_= hic càng học càng thấy mình dốtẤy thế mà vẫn tồn tại lời giải cổ điển đó bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi altair5927: 20-10-2012 - 16:20
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh