Chủ đề này có 3 trả lời

[laiducthang98]

1.cho a,b,c>0 ;a+b+c=1. Tìm Min M=$\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+ca+a^{2}}$
2.cho a>0,b>0 và $a^{2}+b^{2}=1.$. tìm giá trị lớn nhất của S=ab+2(a+b)
3.cho x+y+z+xy+yz+zx=6. Tìm min S= $x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 19-10-2012 - 19:08

[Katyusha]

Bài 3:

Ta đánh giá như sau:
$$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2 \Rightarrow \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \ge x+y+z$$
$$x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$$
Cộng 2 BĐT lại vế theo vế ta được:
$$\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+x^2+y^2+z^2 \ge 6$$
Đặt $t=\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$. Ta có: $\dfrac{t^2}{3}+t \ge 6 \Leftrightarrow (t-3)(t+6) \ge 0 \Leftrightarrow t \ge 3$
Vậy $x^2+y^2+z^2 \ge 3$.

Bài 2:

Theo AM-GM: $$S \le \dfrac{(a^2+b^2)}{2}+2\sqrt{2(a^2+b^2)}=\dfrac{1}{2}+2\sqrt{2}$$

Bài 1:
Theo Mincowski:
$$M=\sqrt{(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3}{4}b^2}+\sqrt{(b+\dfrac{c}{2})^2+\dfrac{3}{4}c^2}+\sqrt{(c+\dfrac{a}{2})^2+\dfrac{3}{4}a^2} \ge \sqrt{(\dfrac{3(a+b+c)}{2})^2+\dfrac{3}{4}(a+b+c)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$$

[diepviennhi]

1/ Ta có $(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow -ab\geq \frac{-(a+b)^{2}}{4}$
Mặt khác ta có $a^{2}+ab+b^{2}=(a+b)^{2}-ab\geq (a+b)^{2}-\frac{1(a+b)^{2}}{4}=\frac{3(a+b)^{2}}{4}\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}(a+b)}{2}$
Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức ta được $M=\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}(a+b+c)\geq \sqrt{3}$
Đẳng thức khi a=b=c=1
2/ Ta có Theo C-S ta có $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})=2\Leftrightarrow 2(a+b)\leq 2\sqrt{2}$
Mặt khác ta có $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}\Rightarrow S= ab+2(a+b)\leq \frac{1}{2}+2\sqrt{2}$
Dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
3/ ta có $(x-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}\geq 2x-1\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2(x+y+z)-3$
Mặt khác ta có $(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq2( xy+yz+xz)\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(x+y+z+xy+yz+xz)-3= 9\Rightarrow S\geq 3$
Dấu = khi x=y=z=1

[25 minutes]

Bài 1 ta có nhận xét sau : $2(x^2+xy+y^2)=(x+y)^2+x^2+y^2\geq (x+y)^2+\frac{\left ( x+y \right )^2}{2}=\frac{3\left ( x+y \right )^2}{2}$
Từ đó ta có $\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\left ( x+y \right )$
Tương tự cho 2 bđt còn lại ra suy ra ĐCCM?