Chủ đề này có 1 trả lời

[chinhanh9]

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\sum \frac{2yz}{3\left ( \sqrt[3]{zx}+\sqrt[3]{xy} \right )}\geq \sqrt[3]{xyz}\left ( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} +\sqrt[3]{z}\right )$
Dù biết bất đẳng thức càng đơn giản càng đẹp nhưng còn non tay nên chỉ được thế này thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-10-2012 - 19:32

[WhjteShadow]

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\sum \frac{2yz}{\left ( \sqrt[3]{zx}+\sqrt[3]{xy} \right )}\geq \sqrt[3]{xyz}\left ( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} +\sqrt[3]{z}\right )$
Dù biết bất đẳng thức càng đơn giản càng đẹp nhưng còn non tay nên chỉ được thế này thôi

Hình như thừa số 3 ở mẫu cậu ạ :-@
Đặt $\sqrt[3]{yz}=a,\sqrt[3]{zx}=b,\sqrt[3]{xy}=c$ thì ta có $a,b,c>0$ và cần chứng minh:
$$2.\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\right)\geq ab+bc+ca$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\right).\left[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\right]\geq \left(a^2+b^2+c^2\right)^2$$
$$=(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ca)^2$$
Nên:
$$\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\right).2\left(ab+bc+ca\right)\geq \left(ab+bc+ca\right)^2$$
$$\Leftrightarrow 2.\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\right)\geq ab+bc+ca$$
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c$ hay $x=y=z$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-10-2012 - 19:43