Chủ đề này có 3 trả lời

[lovecat95]

Cho a,b,c là các số thực thoả mãn :a+b+c=1 và ab+bc+ca>0
Tìm GTNN:
$\frac{2}{\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}}+\frac{2}{\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix}}+\frac{2}{\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix}}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-10-2012 - 19:30

[lehoanghiep]

Cho a,b,c là các số thực thoả mãn :a+b+c=1 và ab+bc+ca>0
Tìm GTNN:
$\frac{2}{\begin{vmatrix} a-b \end{vmatrix}}+\frac{2}{\begin{vmatrix} b-c \end{vmatrix}}+\frac{2}{\begin{vmatrix} c-a \end{vmatrix}}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a>b>c$.
Khi đó $P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{b+bc+ca}}$$\geq \frac{10}{a-c}+\frac{10}{2\sqrt{ab+bc+ca}}\geq\frac{40}{a-c+2\sqrt{ab+bc+ca}}$.
Mặt khác $a-c+2\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{2\left ( \left ( a-c \right )^{2}+4\left ( ab+bc+ca \right ) \right )}=\sqrt{2\left ( a+c \right )\left ( a+c+4b \right )}=\sqrt{2\left ( 1-b \right )\left ( 1+3b \right )}\leq \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
Do đó $P\geq 10\sqrt{6}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{2+\sqrt{6}}{6};b=\frac{1}{3};c=\frac{2-\sqrt{6}}{6}$ hoặc các hoán vị.

[provotinhvip]

$\inline \sqrt{2\left ( 1-b \right )\left ( 1+3b \right )}\leq \frac{2\sqrt{6}}{3}$ giải thích giùm mình đi?

[lehoanghiep]

$\inline \sqrt{2\left ( 1-b \right )\left ( 1+3b \right )}\leq \frac{2\sqrt{6}}{3}$ giải thích giùm mình đi?

$\sqrt{3\left (1-b \right )\left ( 1+3b \right )}\leq \frac{3-3b+1+3b}{2}=2$.