Chủ đề này có 1 trả lời

[no matter what]

CM với mọi a,b,c dương abc=1
$\frac{a}{2a^3+1}+\frac{b}{2b^3+1}+\frac{c}{2c^3+1}\leq 1$

[Secrets In Inequalities VP]

CM với mọi a,b,c dương abc=1
$\frac{a}{2a^3+1}+\frac{b}{2b^3+1}+\frac{c}{2c^3+1}\leq 1$

Ta có đánh giá sau : $\frac{2a}{2a^3+1}\leq \frac{a^2+1}{a^4+a^2+1}$
$\Leftrightarrow \frac{a^4+a^2+1}{2a^3+1}\leq \frac{a^2+1}{2a}\Leftrightarrow \frac{a^4+a^2+1}{2a^3+1}-1\leq \frac{a^2+1}{2a}-1$
$\Leftrightarrow \frac{a^2(a-1)^2}{2a^2+1}\leq \frac{(a-1)^2}{2a}\Leftrightarrow (a-1)^2(\frac{1}{2a}-\frac{a^2}{2a^3+1})\geq 0$
Đánh giá này đúng do $\frac{a^2}{2a^3+1}< \frac{a^2}{2a^3}= \frac{1}{2a}$
Tương tự có 2 cái nứa rồi cộng vào , cuối cùng ta phải chứng minh
$\frac{a^2+1}{a^4+a^2+1}+\frac{b^2+1}{b^4+b^2+1}+\frac{c^2+1}{c^4+c^2+1}\leq 2$
$\Leftrightarrow (1-\frac{a^2+1}{a^4+a^2+1})+(1-\frac{b^2+1}{b^4+b^2+1})+(1-\frac{c^2+1}{c^4+c^2+1})\geq 1$
$\Leftrightarrow \frac{a^4}{a^4+a^2+1}+\frac{a^4}{b^4+b^2+1}+\frac{a^4}{c^4+c^2+1}\geq 1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1$
với $x= \frac{1}{a^2},y= \frac{1}{b^2},z= \frac{1}{c^2},xyz=1$.
Đúng theo cái bổ đề quen thuộc của Vas :
Với x,y,z>0 và $xyz= 1$ thì ta có : $\frac{1}{x^{2k}+x^{k}+1}+\frac{1}{y^{2k}+y^{k}+1}+\frac{1}{z^{2k}+z^{k}+1}\geq 1$