Chủ đề này có 2 trả lời

[robin997]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: $a+b+c\geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}$ Chứng minh rằng:
$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+ \frac{2}{abc}$

[tim1nuathatlac]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: $a+b+c\geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}$ Chứng minh rằng:
$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+ \frac{2}{abc}$

Nhận thấy bất đẳng thức có tích $\frac{1}{abc}$ và giả thiết có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ nên ta nghĩ đến việc nhân thêm $\left ( a+b+c \right )$ để quy về đối xứng!

$Q.e.D\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )}{abc}+3$

Mặt khác $a+b+c\geq \sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$ $\Rightarrow a+b+c\geq 3$

nên $\frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3$

Vậy ta chỉ cần chứng minh: $\frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 1\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \right )$

Thật vậy $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}\leq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}$ $\square$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[duongvanhehe]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: $a+b+c\geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}$ Chứng minh rằng:
$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+ \frac{2}{abc}$

Từ ĐK ta có $ab+bc+ca\leq abc(a+b+c)\leq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^{2}$
$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
Ta có $(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{1}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)+\frac{2}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\geq 3abc+2(a+b+c)$
$\Rightarrow abc(a+b+c)\geq ab+bc+ca\geq \frac{3abc}{a+b+c}+2$
$\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$