Chủ đề này có 11 trả lời

[ducthinh26032011]

KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA TỈNH BÌNH THUẬN

Ngày thi:19.10.2012

Năm học 2012-2013

Môn:Toán

Bài 1:(4 điểm)
Giải phương trình:
$$x^{4}-10x^{3}-2(a-11)x^{2}+2(5a+6)x+2a+a^{2}=0$$

Bài 2:(4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của $x\in [0,2\pi ]$ sao cho:
$$2cosx\leq |\sqrt{1+sin2x}-\sqrt{1-sin2x}|\leq \sqrt{2}$$

Bài 3:(4 điểm)
Cho dãy số $(a_{k});k=1,2,...$ với $a_{k}= \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{k}{(k+1)!}$.Tính:
$$\lim_{n \to +\infty }\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+..+a_{2012}^{n}}$$

Bài 4:(4 điểm)
Cho $R,r$ lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác.O,I lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó.Chứng minh:$OI=\sqrt{R(R-2r)}$.

Bài 5:(4 điểm)
Trong mặt phẳng có 4 điểm $A,B,C,D$ (trong đó không có 3 điểm bất kì nào thẳng hàng).Tìm M trong mặt phẳng đó sao cho $MA+MB+MC+MD$ đạt $min$

----------------------Hết---------------------

[donghaidhtt]

Bài 1:(4 điểm)
Giải phương trình:
$$x^{4}-10x^{3}-2(a-11)x^{2}+2(5a+6)x+2a+a^{2}=0$$

Đặt pt ẩn a ta có: $x^{4}-10x^{3}-2(a-11)x^{2}+2(5a+6)x+2a+a^{2}=0\Leftrightarrow a^2+2a(-x^2+5x+1)+x^4-10x^3+22x^2+12x=0$
$\Delta ^{'}=(1+5x-x^2)^2-(x^4-10x^3+22x^2+12x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$
Khi đó: $\begin{bmatrix} a=x^2-5x-1+(x-1)\\ a=x^2-5x-1-(x-1) \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-4x-2=a\\ x^2-6x=a \end{bmatrix}$
Tới đây không biết có phải tính thêm x theo a hay không vì không biết ẩn là a hay x?
Và nếu tính x theo a thì có xét thêm trường hợp 2 phương trình bậc hai theo x đó có nghiệm trùng nhau không?

[N H Tu prince]

Bài 4:(4 điểm)
Cho $R,r$ lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác.O,I lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó.Chứng minh:$OI=\sqrt{R(R-2r)}$.

Bài này chính là công thức Euler trong tam giác
Gọi D là giao của AI với (O)
OI cắt (O) tại M,N
$\bigtriangleup IAM\sim\bigtriangleup IND(g.g)$
$=>IA.ID=IM.IN=(R-OI)(R+OI)$
Mà ID=DB nên$IA.DB=(R-OI)(R+OI)$(1)
Gọi E là tiếp điểm của AB với (I),xét tam giác vuông IAE
$IA=\frac{IE}{sinBAD}$(2)
Áp dụng định lí sin trong tam giác DBA
$BD=2RsinBAD=$(3)
Thay(2)(3) vào (1).Ta được$\frac{IE}{sinBAD}.2RsinBAD=R^2-OI^2$
$=>R^2-OI^2=2Rr=>OI=\sqrt{R(R-2r)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 22-10-2012 - 18:08

[N H Tu prince]

Bài 5:(4 điểm)
Trong mặt phẳng có 4 điểm $A,B,C,D$ (trong đó không có 3 điểm bất kì nào thẳng hàng).Tìm M trong mặt phẳng đó sao cho $MA+MB+MC+MD$ đạt $min$

Bài này làm không biết đúng không nữa
Áp dụng BDT tam giác $MA+MC \geq AC,MB+MD \geq BD$
$=>MA+MB+MC+MD \geq AC+BD$
$=>min(MA+MB+MC+MD)=AC+BD$ đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

[yeutoan11]

Bài này làm không biết đúng không nữa
Áp dụng BDT tam giác $MA+MC \geq AC,MB+MD \geq BD$
$=>MA+MB+MC+MD \geq AC+BD$
$=>min(MA+MB+MC+MD)=AC+BD$ đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

Có lẽ phải dùng thêm dirichlê để nói tồn tại 2 đường cắt nhau trong 4 điểm A,B ,C , D.
AC // BD thì ............

[ducthinh26032011]

Bài này làm không biết đúng không nữa
Áp dụng BDT tam giác $MA+MC \geq AC,MB+MD \geq BD$
$=>MA+MB+MC+MD \geq AC+BD$
$=>min(MA+MB+MC+MD)=AC+BD$ đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

Làm thế chỉ được 1 nửa thôi bạn à.Bài này có 2 TH là 4 điểm tạo thành tứ giác lồi và 4 điểm tạo thành tứ giác lõm.

[CD13]

Đánh giá: đề thi này toàn là coppy nguyên văn đề bài của các đề thi khác, điều này thật tệ!
Hai bài còn lại. Bài 2 có trong tuyển tập 200 bài toán lượng giác của Nguyễn Văn Nho. Bài 3 là đề thi Olympic 30.04 (nhớ hình như là 2006).
Nói thêm, bài 1 và bài 5 có mặt trong hầu hết các sách tham khảo theo chuyên đề. Còn bài 4 lại là.....định lí (có thể tìm thấy trong 40 năm Olypimpic Quốc tế - N.V.Nho)

[go out]

Đánh giá: đề thi này toàn là coppy nguyên văn đề bài của các đề thi khác, điều này thật tệ!
Hai bài còn lại. Bài 2 có trong tuyển tập 200 bài toán lượng giác của Nguyễn Văn Nho. Bài 3 là đề thi Olympic 30.04 (nhớ hình như là 2006).
Nói thêm, bài 1 và bài 5 có mặt trong hầu hết các sách tham khảo theo chuyên đề. Còn bài 4 lại là.....định lí (có thể tìm thấy trong 40 năm Olypimpic Quốc tế - N.V.Nho)

Bù lại cho đề thi vòng 1, chết ráo...

[Crystal]

Bài 3:(4 điểm)
Cho dãy số $(a_{k});k=1,2,...$ với $a_{k}= \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{k}{(k+1)!}$.Tính:
$$\lim_{n \to +\infty }\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+..+a_{2012}^{n}}$$

Bài 3 đã có trên Diễn đàn với trường hợp là $2011$. Mời các bạn tham khảo lời giải sau.

1. Cho $x_{k}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{k}{(k+1)!}$

Tìm $lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}$

Giải:

Vì ${x_{k + 1}} - {x_k} = \dfrac{{k + 1}}{{\left( {k + 2} \right)!}} > 0\,\,\forall k \in N \Rightarrow {x_{k + 1}} > {x_k} > 0,\,\,\forall k \in N$

$$ \Rightarrow x_{2011}^n < x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n < 2011.x_{2011}^n$$
$$ \Rightarrow {x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}.{x_{2011}}\,\,\,\,(1)$$
Mặt khác: $\dfrac{k}{{\left( {k + 1} \right)!}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right) - 1}}{{\left( {k + 1} \right)!}} = \dfrac{1}{{k!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}$
$$\Rightarrow {x_k} = \left( {1 - \dfrac{1}{{2!}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2!}} - \dfrac{1}{{3!}}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{{k!}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}} \right) = 1 - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}}$$
$$ \Rightarrow {x_{2011}} = 1 - \dfrac{1}{{2012!}}$$
Thay ${x_{2011}}$ vào ( 1 ) ta được:
$$1 - \dfrac{1}{{2012!}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right)$$
Mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\sqrt[n]{{2011}}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2012!}}} \right)} \right]$

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} = 1 - \dfrac{1}{{2012!}}$.

[hangochoanthien]

Vui nhỉ ! Định lí Euler quen thuộc thế mà người ta cũng ra trong đề thí HSG được cơ chứ !

[go out]

Vui nhỉ ! Định lí Euler quen thuộc thế mà người ta cũng ra trong đề thí HSG được cơ chứ !

Dự đoán: Năm sau sẽ cho chứng minh định lý Pythagore. Vãi cả đề.

[namcpnh]

Ai có đề thi bấm bằng word không?Cho mình xin.