Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $\alpha$ là số thực thỏa mãn $\sin \alpha \neq 0$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $n\ge 2$ đa thức
$P(x)=x^n\sin(\alpha)-x\sin (n\alpha)+\sin x(n-1)\alpha$ chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-2x\cos(\alpha)+1$

Rumani 1962

[robin997]

Cho $\alpha$ là số thực thỏa mãn $\sin \alpha \neq 0$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $n\ge 2$ đa thức
$P(x)=x^n\sin(\alpha)-x\sin (n\alpha)+\sin x(n-1)\alpha$ chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-2x\cos(\alpha)+1$

Rumani 1962

..Em nghĩ đề bài phải là:
$P(x)=x^n\sin(\alpha)-x\sin (n\alpha)+\sin [(n-1)\alpha]$
-Bài này dùng công cụ số phức cho nhanh:P
-Xét $Q(x)=0 (*)$:
+$\Delta = cos^2\alpha-1=-sin^2\alpha$
$(*)$ có 2 nghiệm là:
$x_1=cos\alpha+isin\alpha$ và $x_2=cos\alpha-isin\alpha$
Với $Q(x)=(x-x_1)(x-x_2)$
Theo công thức Moivre, có:
-$P(x_1)=(Cos(n\alpha)+isin(n\alpha))sin\alpha-(cos\alpha+isin\alpha)sin(n\alpha)+sin[(n-1)\alpha]\\=cos(n\alpha)sin\alpha-cos\alpha sin(n\alpha)+sin[(n-1)\alpha]=0$
$P(x)\vdots (x-x_1)(1)$
-$P(x_2)=(Cos(n\alpha)-isin(n\alpha))sin\alpha-(cos\alpha-isin\alpha)sin(n\alpha)+sin[(n-1)\alpha]\\=cos(n\alpha)sin\alpha-cos\alpha sin(n\alpha)+sin[(n-1)\alpha]=0$
$P(x)\vdots (x-x_2)(2)$
-$(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $QeD$ :')