Chủ đề này có 3 trả lời

[E. Galois]

Ngày 13/10/2012

Câu 1

Xây dựng một dãy số với các tính chất sau đây:
- Số hạng đầu tiên của dãy là một số tự nhiên có một chữ số.
- Mỗi số hạng (kể từ khi lần thứ hai) thu được bằng cách cộng $9$ vào số hạng đứng ngay trước nó trong dãy
- Số $2012$ là một số hạng trong dãy.
Tìm số hạng đầu tiên của dãy.

Câu 2
Một con kiến lang thang trên một bàn cờ. Nó chỉ đi theo chiều dọc và theo chiều ngang qua các ô vuông bàn cờ và không đi qua một ô bất kì hai hoặc nhiều lần.
a) Nếu bàn cờ cỡ $4\times 4$, phải bắt đầu từ ô vuông nào để có thể đi qua tất cả các ô.

b) Nếu bàn cờ cỡ $5\times 5$, phải bắt đầu từ ô vuông nào để có thể đi qua tất cả các ô.

c) Nếu bàn cờ cỡ $n\times n$, phải bắt đầu từ ô vuông nào để có thể đi qua tất cả các ô.

Câu 3
Cho tam giác $ABC$ (vuông tại $B$) nội tiếp nửa đường tròn đường kính $AC=10$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến $AC$ nếu đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng trung bình hình học các cạnh của tam giác.

Câu 4.
Tìm các số có $4$ chữ số $\overline{abcd}$ sao cho chúng là bội của $3$ và $\overline{ab}-\overline{cd}=11$.

Câu 5
Cho tam giác đều $ABC$, $Q$ là một điểm bất kì trên $BC$. Đường thẳng $AQ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{PQ}=\frac{1}{PB}+\frac{1}{PC} $$

[hoangtrong2305]

Câu 1

Xây dựng một dãy số với các tính chất sau đây:
- Số hạng đầu tiên của dãy là một số tự nhiên có một chữ số.
- Mỗi số hạng (kể từ khi lần thứ hai) thu được bằng cách cộng $9$ vào số hạng đứng ngay trước nó trong dãy
- Số $2012$ là một số hạng trong dãy.
Tìm số hạng đầu tiên của dãy.

Dễ thấy đây là cấp số cộng với công sai $d=9$

Vì 2012 là thành phần trong dãy nên $2012=9k+u_{1}$ (với k là số hạng trong dãy của $2012$)

Do $1\leq u_{1}\leq 9$

$\Leftrightarrow 1+9k\leq9k+ u_{1}\leq 9+9k$

$\Leftrightarrow 1+9k\leq 2012\leq 9+9k$

$\Leftrightarrow \frac{2003}{9}\leq k\leq \frac{2011}{9}$

$\Rightarrow k=223$

$\Rightarrow 2012=9.223+u_{1}$

$\Leftrightarrow u_{1}=5$

Vậy số hạng đầu của dãy là $5$

Câu 3
Cho tam giác $ABC$ (vuông tại $B$) nội tiếp nửa đường tròn đường kính $AC=10$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến $AC$ nếu đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng trung bình hình học các cạnh của tam giác.

Trung bình hình học các cạnh, chắc lả tổng 3 cạnh chia 3 quá

Gọi $I$ trung điểm $AC$ thì $BI=5$

Ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\\ BI=\frac{AB+BC+AC}{3} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} AB^{2}+BC^{2}=100\\ AB+BC=5 \end{matrix}\right.$

Giải hệ ra 1 cạnh dương 1 cạnh âm :-ss

Câu 4.
Tìm các số có $4$ chữ số $\overline{abcd}$ sao cho chúng là bội của $3$ và $\overline{ab}-\overline{cd}=11$.

Bài này làm bên lập trình PASCAL thì kết quả là:

[thuylinh_909]

Bài 5
$\frac{1}{PQ}=\frac{1}{PC}+\frac{1}{PB}\Leftrightarrow \frac{1}{PQ}=\frac{PB+PC}{PB.PC}$
Ta sẽ chứng minh $PB+PC=PA$
Thật vậy, trên AP lấy điểm M sao cho PM=PB
P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều
$\Rightarrow \widehat{APB}=60^{\circ}$
Suy ra tam giác PBM đều từ đó BM=BP
Xét $\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup CBP$ do:
$\widehat{BAM}=\widehat{BCP}=60^{\circ}$
$AB=BC$
$BM=BP$
$\Rightarrow AM=CP$
$\Rightarrow BP+CP=PM+MA=AP$
Do đó đpcm$\Leftrightarrow PQ.PA=PB.PC$ (1)
Dễ dàng chứng minh (1) nhờ việc xét hai tam giác đồng dạng BPQ và APC

[triethuynhmath]

Ngày 13/10/2012

Câu 1

Xây dựng một dãy số với các tính chất sau đây:
- Số hạng đầu tiên của dãy là một số tự nhiên có một chữ số.
- Mỗi số hạng (kể từ khi lần thứ hai) thu được bằng cách cộng $9$ vào số hạng đứng ngay trước nó trong dãy
- Số $2012$ là một số hạng trong dãy.
Tìm số hạng đầu tiên của dãy.

Làm như vậy được không nhỉ.Dễ thấy Từ cách thành lập dãy ta có: Các số hạng trong dãy có cùng số dư khi chia cho $9$.Mà $2012$ chia $9$ dư $5$ nên số hạng đầu tiên cũng chia $9$ dư $5$.Mà số đó có 1 chữ số nên chắc chắn là số $5$