Chủ đề này có 1 trả lời

[cutesmile9x]

Cho $f(x)$ là đa thức bậc 2010 và $f(k)=\frac{k^3}{k^2+3k+2}$ với $k\in N^*, k\leq 2011$.
Tính $f(2012)$

[hxthanh]

Cho $f(x)$ là đa thức bậc 2010 và $f(k)=\frac{k^3}{k^2+3k+2}$ với $k\in N^*, k\leq 2011$.
Tính $f(2012)$

Không biết sai ở đâu, thôi cứ chém bừa!

Xét đa thức $g(x)=(x+1)(x+2).f(x)-x^3$
Suy ra $f(x)=\dfrac{g(x)+x^3}{(x+1)(x+2)}$

$\deg[f(x)]=2010\Rightarrow \deg[g(x)]=2012$
Với $1\le k\le 2011$ ta có $g(k)=0$

Do đó $g(x)=(x-1)(x-2)...(x-2011)(ax+b)$
Suy ra $\begin{cases}g(-1)-1=-2012!(-a+b)-1=0 \\ g(-2)-8=-\dfrac{2013!}{2}(-2a+b)-8=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-\dfrac{1997}{2013!} \\ b=-\dfrac{4010}{2013!}\end{cases}$

Như vậy: $g(x)=-\dfrac{(x-1)(x-2)...(x-2011)(1997x+4010)}{2013!}$

Và $f(x)=\dfrac{x^3-\frac{(x-1)(x-2)...(x-2011)(1997x+4010)}{2013!}}{(x+1)(x+2)}$

Thay $x=2012$ ta được một phép tính to đùng

$f(2012)=\dfrac{2012^3}{2013.2014}-\dfrac{1997}{2013^2.2014}-\dfrac{4010}{2012.2013^2.2014}\qquad(\approx 2009)$