1 số bdt có phân thức và căn thức
#1
Đã gửi 26-10-2012 - 16:37
1.$\frac{a^{5}}{a^{3}+b^{3}}$+$\frac{b^{5}}{b^{3}+c^{3}}$+$\frac{c^{5}}{a^{3}+c^{3}}$$\geq$$(a^{2}+b^{2}+c^{2})/2$
2.nếu a+b+c=3 thì $\frac{1}{9-ab}$+$\frac{1}{9-ab}$+$\frac{1}{9-ab}$$\leq$3/8
3.nếu a+b+c+d=4 thì $\frac{1}{5-abc}$+$\frac{1}{5-bcd}$+$\frac{1}{5-cda}$+$\frac{1}{5-dab}$$\leq$1
4.3(a+b+c)$\geq$$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ac}+\sqrt{c^{2}+8ab}$
5.$2\geq k\geq 0$ ta có $\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+ka^{2}}+\frac{b^{2}-ac}{a^{2}+c^{2}+kb^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{b^{2}+a^{2}+kc^{2}}\geq 0$
6.a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB của tam giác nhọn
CMR $\frac{a+b}{cosC}+\frac{c+b}{cosA}+\frac{a+c}{cosB}\geq 4(a+b+c)$
- ducthinh26032011 và WhjteShadow thích
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =$\infty$
#2
Đã gửi 26-10-2012 - 20:15
Bài 1 khá chặt đấy nhỷ chịcho a,b,c,d>0,chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.$\frac{a^{5}}{a^{3}+b^{3}}$+$\frac{b^{5}}{b^{3}+c^{3}}$+$\frac{c^{5}}{a^{3}+c^{3}}$$\geq$$(a^{2}+b^{2}+c^{2})/2$
Đặt $a^3=x,b^3=y,c^3=z$ ta đưa bài toán về chứng minh:
$$\frac{x^{\frac{5}{3}}}{x+y}+\frac{y^{\frac{5}{3}}}{y+z}+\frac{z^{\frac{5}{3}}}{z+x}\geq \frac{x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Nhưng do $\frac{5}{3}>\frac{3}{2}$ nên ta sẽ chứng minh 1 bất đẳng thức chặt và khái quát hơn là:
Bài toán: Với mọi số thực dương $x,y,z$ và $k\geq \frac{3}{2}$ thì ta có bất đẳng thức:
$$\frac{x^k}{x+y}+\frac{y^k}{y+z}+\frac{z^k}{z+x}\geq \frac{x^{k-1}+y^{k-1}+z^{k-1}}{2}$$
Chứng minh:
Thật vậy ta có $Q.e.D\Leftrightarrow \frac{x^{k-1}.(x-y)}{x+y}+\frac{y^{k-1}.(y-z)}{y+z}+\frac{z^{k-1}.(z-x)}{z+x}\geq 0$
Sử dụng kết quả sau với $a,b,c>0$ ta sẽ có ngay kết quả bài toán:
$$\frac{x^{k-1}.(x-y)}{x+y}\geq \frac{x^{k-1}-y^{k-1}}{2(k-1)}$$
$$\Leftrightarrow 2(k-1).x^{k-1}.(x-y)-(x^{k-1}-y^{k-1})(x+y)\geq 0$$
Khai triển và rút gọn thì bất đẳng thức tương đương với
$$\Leftrightarrow (2k-3)x^k+y^k+xy^{k-1}\geq (2k-1)x^{k-1}y$$
Nhưng bất đẳng thức cuối lại đúng the0 $AM-GM$ ch0 $2k-1$ số.Vậy ta có ĐPCM.
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$ $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 26-10-2012 - 20:21
- HÀ QUỐC ĐẠT và uyenha thích
#3
Đã gửi 26-10-2012 - 20:39
theo AM-GM ta có $\frac{x^{k}}{x+y}+\frac{(x+y)x^{k-2}}{4}\geq x^{k-1}$,tương tự cho các số hạng còn lại,do đó chỉ cần CM $\sum yx^{k-2}\leq \sum x^{k-1}$ là xong,áp dụng bdt xếp lại với $x\geq y\geq z$ và $x^{k-1}\geq y^{k-1}\geq z^{k-1}$ suy ra dpcm
- WhjteShadow yêu thích
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =$\infty$
#4
Đã gửi 26-10-2012 - 22:11
Chị ơi $k\geq \frac{3}{2}$ và AM-GM cần gì số mũ phải nguyên dương ạ @@~ý tưởng giải của em khá hay ,tuy nhiên chỗ áp dụng AM-GM cho 2k-1 số lại sai vì ở đây k là số thực,cho nên ta giải bài toán chặt hơn đó như sau
theo AM-GM ta có $\frac{x^{k}}{x+y}+\frac{(x+y)x^{k-2}}{4}\geq x^{k-1}$,tương tự cho các số hạng còn lại,do đó chỉ cần CM $\sum yx^{k-2}\leq \sum x^{k-1}$ là xong,áp dụng bdt xếp lại với $x\geq y\geq z$ và $x^{k-1}\geq y^{k-1}\geq z^{k-1}$ suy ra dpcm
Bài 2 và 3 tr0ng tập UCT của anh Cẩn trang 27 và 30 ạ Các bạn tham khảo tại:
http://www.mediafire...9ggp3vxcbt6gqkr
Bài 4 có vẻ lỏng quá chị :S
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:
$$\sqrt{x^2+8yz}+\sqrt{y^2+8xz}+\sqrt{z^2+8xy}\leq \sqrt{3.[x^2+y^2+z^2+8(xy+yz+zx)]}$$
$$\leq \sqrt{9.(a+b+c)^2}=3(a+b+c)$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
#5
Đã gửi 26-10-2012 - 23:06
Lên diễn đàn bạn chú ý đánh đề bài cho cẩn thận (cho nó thuận mắt hơn) viết hoa đầu câu và không nên dùng "nếu ... thì" !2.nếu a+b+c=3 thì $\frac{1}{9-ab}$+$\frac{1}{9-ab}$+$\frac{1}{9-ab}$$\leq$3/8
3.nếu a+b+c+d=4 thì $\frac{1}{5-abc}$+$\frac{1}{5-bcd}$+$\frac{1}{5-cda}$+$\frac{1}{5-dab}$$\leq$1
5.$2\geq k\geq 0$ ta có $\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+ka^{2}}+\frac{b^{2}-ac}{a^{2}+c^{2}+kb^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{b^{2}+a^{2}+kc^{2}}\geq 0$
2)3) Mình nghĩ có thể dùng phân tách Trê Bư shep dạng này thường là như vậy !
5) Đây là một bài khá cũ của anh Cẩn chắc dùng C-S hoặc S.O.S !
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#6
Đã gửi 27-10-2012 - 00:41
Bài 6 cũng xài Trê bư sép được chứ nhỉ?Lên diễn đàn bạn chú ý đánh đề bài cho cẩn thận (cho nó thuận mắt hơn) viết hoa đầu câu và không nên dùng "nếu ... thì" !
2)3) Mình nghĩ có thể dùng phân tách Trê Bư shep dạng này thường là như vậy !
5) Đây là một bài khá cũ của anh Cẩn chắc dùng C-S hoặc S.O.S !
#7
Đã gửi 27-10-2012 - 11:56
- WhjteShadow và robin997 thích
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =$\infty$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh