Chủ đề này có 6 trả lời

[yellow]

Cho $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và $f(1)=1$;$f(2n)=f(n)$;$f(2n+1)=f(n)+1$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(n)$ với $1\leq n\leq 1994$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 26-10-2012 - 19:51

[perfectstrong]

$f(x)=1$ là sao hả bạn?

[yellow]

$f(x)=1$ là sao hả bạn?

minh nhầm, mình sửa lại đề rồi đó bạn

[perfectstrong]

Hướng dẫn:
Dễ thấy, nếu tồn tại hàm số $f$ thỏa đề thì chỉ có một và chỉ một hàm $f$ thỏa đề. Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của hàm số $f$.
Đầu tiên, ta có nhận xét: Mọi số tự nhiên $x$ trong hệ thập phân, đều chỉ có duy nhất một cách biểu diễn dưới dạng nhị phân.
Hàm số $f$ xác định như sau: $f(n)$ là số chữ số $1$ trong cách viết hệ nhị phân của $n$. (1)
Hãy chứng minh (1) bằng quy nạp. Với chú ý: Nếu
\[
n = \overline {a_1 a_2 ...a_k } _{\left( 2 \right)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n = \overline {a_1 a_2 ...a_k 0} _{\left( 2 \right)} \\
2n + 1 = \overline {a_1 a_2 ...a_k 1} _{\left( 2 \right)} \\
\end{array} \right.
\]
Từ đó, do $1994 = \overline {11111001010} _{\left( 2 \right)}$ để $f(n)$ có GTLN với $1 \le n \le 1994$ thì \[
n = \overline {1111111111} _{\left( 2 \right)} = 1023
\]

[yellow]

Hướng dẫn:
Dễ thấy, nếu tồn tại hàm số $f$ thỏa đề thì chỉ có một và chỉ một hàm $f$ thỏa đề. Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của hàm số $f$.
Đầu tiên, ta có nhận xét: Mọi số tự nhiên $x$ trong hệ thập phân, đều chỉ có duy nhất một cách biểu diễn dưới dạng nhị phân.
Hàm số $f$ xác định như sau: $f(n)$ là số chữ số $1$ trong cách viết hệ nhị phân của $n$. (1)
Hãy chứng minh (1) bằng quy nạp. Với chú ý: Nếu
\[
n = \overline {a_1 a_2 ...a_k } _{\left( 2 \right)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n = \overline {a_1 a_2 ...a_k 0} _{\left( 2 \right)} \\
2n + 1 = \overline {a_1 a_2 ...a_k 1} _{\left( 2 \right)} \\
\end{array} \right.
\]
Từ đó, do $1994 = \overline {11111001010} _{\left( 2 \right)}$ để $f(n)$ có GTLN với $1 \le n \le 1994$ thì \[
n = \overline {1111111111} _{\left( 2 \right)} = 1023
\]

Xin hỏi còn có cách nào khác nữa không? Mấy cái vấn đề bạn nếu trong này mình đều chưa học!!

[perfectstrong]

Xin hỏi còn có cách nào khác nữa không? Mấy cái vấn đề bạn nếu trong này mình đều chưa học!!

Cách mình chỉ ra ở trên là chỉ ra sự duy nhất của hàm số.
Còn nếu bạn hỏi còn cách khác hay không? Thì đó là tính tay thôi

[yellow]

Hướng dẫn:
Dễ thấy, nếu tồn tại hàm số $f$ thỏa đề thì chỉ có một và chỉ một hàm $f$ thỏa đề. Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của hàm số $f$.
Đầu tiên, ta có nhận xét: Mọi số tự nhiên $x$ trong hệ thập phân, đều chỉ có duy nhất một cách biểu diễn dưới dạng nhị phân.
Hàm số $f$ xác định như sau: $f(n)$ là số chữ số $1$ trong cách viết hệ nhị phân của $n$. (1)
Hãy chứng minh (1) bằng quy nạp. Với chú ý: Nếu
\[
n = \overline {a_1 a_2 ...a_k } _{\left( 2 \right)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n = \overline {a_1 a_2 ...a_k 0} _{\left( 2 \right)} \\
2n + 1 = \overline {a_1 a_2 ...a_k 1} _{\left( 2 \right)} \\
\end{array} \right.
\]
Từ đó, do $1994 = \overline {11111001010} _{\left( 2 \right)}$ để $f(n)$ có GTLN với $1 \le n \le 1994$ thì \[
n = \overline {1111111111} _{\left( 2 \right)} = 1023
\]

Bạn ơi, bạn có thể chứng minh ($1$) bằng cách quy nạp dùm mình được không? Mình làm mãi mà vẫn không chứng minh được.