$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
#1
Đã gửi 26-10-2012 - 22:30
$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
ở tử em cm dc tử>=216,mẫu em đg bí,bác nào giúp em với,tks nhìu lắm lắm
#2
Đã gửi 26-10-2012 - 22:49
Có : $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ ( áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương )Biết abc=1.CM:
$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
ở tử em cm dc tử>=216,mẫu em đg bí,bác nào giúp em với,tks nhìu lắm lắm
Tương tự $b+c\geq 2\sqrt{bc}$
$c+a\geq 2\sqrt{ca}$
Nhân vế theo vế của 3 bđt trên ta được :
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{(abc)^2}=8$
Do tử số $\geq216$, mẫu số $\leq8$
=> đpcm
Quên mất, a,b,c của bạn có đk j ko?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 26-10-2012 - 22:53
#3
Đã gửi 26-10-2012 - 22:57
bạn sai rồi,nếu làm như bạn thì mẫu số >=8 chứ ko phài <=8 đâu,a,b,c >0Có : $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ ( áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương )
Tương tự $b+c\geq 2\sqrt{bc}$
$c+a\geq 2\sqrt{ca}$
Nhân vế theo vế của 3 bđt trên ta được :
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{(abc)^2}=8$
Do tử số $\geq216$, mẫu số $\leq8$
=> đpcm
Quên mất, a,b,c của bạn có đk j ko?
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
#4
Đã gửi 26-10-2012 - 23:00
Ừ nhỉ, để mình nháp lại đã, thanks nhé, thế ở tử số bạn làm theo cách nào vậy?bạn sai rồi,nếu làm như bạn thì mẫu số >=8 chứ ko phài <=8 đâu,a,b,c >0
#5
Đã gửi 26-10-2012 - 23:05
mình khai triển ra $126 + 5(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3) + 25(a^3+b^3+c^3)>=126+5.3+25.3 =216$Ừ nhỉ, để mình nháp lại đã, thanks nhé, thế ở tử số bạn làm theo cách nào vậy?
#6
Đã gửi 26-10-2012 - 23:25
Chắc là cách này ko đc đâu, nếu TS $\geq216$ mà muốn cm p/s đó $\geq27$ thì chỉ còn cách làm MS $\leq8$ (cái này ko đc). Vậy chắc phải xài cách khác.mình khai triển ra $126 + 5(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3) + 25(a^3+b^3+c^3)>=126+5.3+25.3 =216$
#7
Đã gửi 26-10-2012 - 23:27
bạn suy nghĩ phụ mình với,mình đg căng đầu^^Chắc là cách này ko đc đâu, nếu TS $\geq216$ mà muốn cm p/s đó $\geq27$ thì chỉ còn cách làm MS $\leq8$ (cái này ko đc). Vậy chắc phải xài cách khác.
#8
Đã gửi 27-10-2012 - 00:24
Khai triển nhé !Biết abc=1.CM:
$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
ở tử em cm dc tử>=216,mẫu em đg bí,bác nào giúp em với,tks nhìu lắm lắm
BĐT $\Leftrightarrow (a^{3}+5)(b^{3}+5)(c^{3}+5)\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow 126+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2)$
$\Leftrightarrow 72abc+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}+\frac{c^{2}a^{2}}{b})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
Ta có các BĐT sau:
Theo Cauchy Schwarz: $\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}=b^{2}(\frac{a^{2}}c{+\frac{c^{2}}{a}})\geq b^{2}(a+c)$
Tương tự :$\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}\geq a^{2}(b+c)$
$\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}\geq c^{2}(a+b)$
cộng lại ta có: $2(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a})\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (1)
Giả sử c=min{a,b,c}.Ta có :$(a+b-c)(a-b)^{2}+c(c-a)(c-b)\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow 24(a^{3}+b^{3}+c^{3})+72abc\geq 24(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (2)
Dễ thấy $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{2}(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (3)
Cộng các vế của các BĐT (1),(2) và (3) ta có ĐPCM
- WhjteShadow, Mrnhan, BoBoiBoy và 1 người khác yêu thích
#9
Đã gửi 27-10-2012 - 12:12
Làm thế nào bạn nghĩ ra đc cách này vậy?Khai triển nhé !
BĐT $\Leftrightarrow (a^{3}+5)(b^{3}+5)(c^{3}+5)\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow 126+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2)$
$\Leftrightarrow 72abc+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}+\frac{c^{2}a^{2}}{b})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
Ta có các BĐT sau:
Theo Cauchy Schwarz: $\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}=b^{2}(\frac{a^{2}}c{+\frac{c^{2}}{a}})\geq b^{2}(a+c)$
Tương tự :$\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}\geq a^{2}(b+c)$
$\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}\geq c^{2}(a+b)$
cộng lại ta có: $2(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a})\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (1)
Giả sử c=min{a,b,c}.Ta có :$(a+b-c)(a-b)^{2}+c(c-a)(c-b)\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow 24(a^{3}+b^{3}+c^{3})+72abc\geq 24(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (2)
Dễ thấy $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{2}(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (3)
Cộng các vế của các BĐT (1),(2) và (3) ta có ĐPCM
#10
Đã gửi 27-10-2012 - 13:56
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh