Chủ đề này có 3 trả lời

[hieu27091997]

Tim GTNN cua bieu thuc sau voi a,b,c>0
$$\dfrac{(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)}{(3+a+b+c)^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-10-2012 - 10:28

[tramyvodoi]

mình sẽ chứng minh bài toán nhỏ sau
với a,b,c>0 thì$(2+a^{2})(2+b^{2})(2+c^{2})\geq 3(a+b+c)^{2}$
dấu "=" xãy ra khi a=b=c=1. kết hợp bài toán này vs bài toán của bạn là tìm đc min

[WhjteShadow]

Bạn có thể tham khỏa bài 9 tại đây.
Bài 9: Cho các số thực dương a,b,c
a. Chứng minh rằng $$\left( 2+{{a}^{2}} \right)\left( 2+{{b}^{2}} \right)\ge \frac{9}{16}\left[ 2{{\left( a+b \right)}^{2}}+7 \right]$$
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{\left( 2+{{a}^{2}} \right)\left( 2+{{b}^{2}} \right)\left( 2+{{c}^{2}} \right)}{{{\left( 3+a+b+c \right)}^{2}}}$$
Lời giải:
a) Sử dụng phép khai triển trực tiếp ta cần chứng minh:
$$a^2b^2+\frac{7}{8}(a^2+b^2)+\frac{1}{16}\geq \frac{9}{4}ab$$
Và bất đẳng thức này đúng do $a^2b^2+\frac{1}{16}\geq \frac{1}{2}ab\\ \frac{7}{8}(a^2+b^2)\geq \frac{7}{4}ab$
Đẳng thức xảy ra tại $a=b=\frac{1}{2}$
b)Sử dụng kết quả câu a) và $Cauchy-Schwarz$ ta được:
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq \frac{9}{16}\left[2(a+b)^2+7\right].(c^2+2)$$
$$=\frac{9}{16}\left[2(a+b)^2+1+6\right].\left(\frac{1}{2}+c^2+\frac{3}{2}\right)\geq \frac{9}{16}(a+b+c+3)^2$$
Vậy $P_{Min}=\frac{9}{16}$.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{2}$

[25 minutes]

Bất đăng thức mạnh hơn là $(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)\geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2$
Nhưng mà tìm Min của $\frac{3(a+b+c)^2}{(3+a+b+c)^2}$ bạn tìm kiểu gì?