Chủ đề này có 5 trả lời

[duongchelsea]

Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c>0$ và $abc=1$
b) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$ với $a,b,c\geq 0$

P/s: Mọi người cố gắng giải bằng cách áp dụng bổ đề nhé!

[Joker9999]

Toàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.

[duongchelsea]

Toàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.

Bài 2 mình cần áp dụng bổ đề để chứng minh cơ. Cách của bạn mình cũng đã nghĩ tới rồi.

[no matter what]

Toàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.

mình nghĩ không nên nói cái dòng màu đỏ đó,dễ mất thiện cảm lắm bạn ak

[triethuynhmath]

Bài 2 mình cần áp dụng bổ đề để chứng minh cơ. Cách của bạn mình cũng đã nghĩ tới rồi.

Thì những cách làm trên cũng là áp dụng bổ đề mà???
Sau khi đặt như trên ta thấy $x,y,z >0$
Ta có:$xyz=1$
$\frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\frac{1}{xy(x+y+z)}$(Dùng bổ đề nhé).
Tương tự rồi cộng lại ra đpcm.
bài 2 thì từ: $a^3+b^3\geq ab(a+b\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{4(a^3+b^3)}\geq a+b$
Xong cộng lại ra đpcm ngay

[longqnh]

Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c>0$ và $abc=1$

tham khảo thêm ở đây