$CMR: \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$
Bắt đầu bởi duongchelsea, 29-10-2012 - 21:59
#1
Đã gửi 29-10-2012 - 21:59
Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c>0$ và $abc=1$
b) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$ với $a,b,c\geq 0$
P/s: Mọi người cố gắng giải bằng cách áp dụng bổ đề nhé!
a) $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c>0$ và $abc=1$
b) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$ với $a,b,c\geq 0$
P/s: Mọi người cố gắng giải bằng cách áp dụng bổ đề nhé!
#2
Đã gửi 29-10-2012 - 22:05
Toàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#3
Đã gửi 29-10-2012 - 22:07
Bài 2 mình cần áp dụng bổ đề để chứng minh cơ. Cách của bạn mình cũng đã nghĩ tới rồi.Toàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.
#4
Đã gửi 29-10-2012 - 22:14
mình nghĩ không nên nói cái dòng màu đỏ đó,dễ mất thiện cảm lắm bạn akToàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.
#5
Đã gửi 29-10-2012 - 22:43
Thì những cách làm trên cũng là áp dụng bổ đề mà???Bài 2 mình cần áp dụng bổ đề để chứng minh cơ. Cách của bạn mình cũng đã nghĩ tới rồi.
Sau khi đặt như trên ta thấy $x,y,z >0$
Ta có:$xyz=1$
$\frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\frac{1}{xy(x+y+z)}$(Dùng bổ đề nhé).
Tương tự rồi cộng lại ra đpcm.
bài 2 thì từ: $a^3+b^3\geq ab(a+b\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{4(a^3+b^3)}\geq a+b$
Xong cộng lại ra đpcm ngay
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh