Đến nội dung


Hình ảnh

[Vòng 2] Đề thi chọn HSG lớp 11-12 KHTN 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-10-2012 - 14:58

Ngày thứ nhất


Câu 1: Cho n là số nguyên dương. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ xét các điểm $A(0,n),B(n,n),C(n,0)$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp điểm $(M,N)$ với $M,N$ có các tọa độ nguyên , nằm trên cạnh hoặc bên trong hình vuông $OABC$ và trung điểm của $MN$ thuộc đường chéo $OB$.

Câu 2: Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a,b,c,d)$ thỏa mãn:
$$a^2+7b^2=3c^2+2cd+5d^2$$
Câu 3: Cho tam giác nhọn $ABC$$,D$ là một điểm thuộc đoạn $AC$ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác$ ABD$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $E$ khác $B$ . Tiếp tuyến tại $B, D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác$ ABD$ cắt nhau tại $T$ . $AT$ cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác $ABD$ tại $F$ khác $A. CF$ giao$ DE$ tại $G. AG$ giao $BC$ tại $H. M$ là trung điểm của $AF$ . Chứng minh rằng $HN$ song song với $AT$.

Câu 4:
1) Một chiếc bàn có $22$ chiếc ghế. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho nếu một nhóm $n$ người ngồi vào bàn thì luôn có hai người sao cho một trong hai phần của bàn bị ngăn bởi họ có đúng $2$ hoặc $8$ chiếc ghế.

2) Nếu ta xếp thêm một chiếc ghế nữa vào bàn và giữ nguyên các điều kiện còn lại thì giá trị nhỏ nhất của $n$ là bao nhiêu?

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-10-2012 - 15:01

Ngày thứ hai


Câu 1: Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix}
&x_1=5;x_2=\frac{17}{2} \\
& x_{n+1}=\frac{1}{4}x_nx_{n-1}^2-2x_n-4
\end{matrix}\right.\,\,\,n \ge 2$

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $[x_n] + 3$ là lập phương của một số tự nhiên .

Câu 2: Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}
&x^2(y+3)=4(2-y) \\
& y^2(z+3)=4(2-z) \\
& z^2(x+3)=4(2-x)
\end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho $ABC$ cân tại $A$ và $ABC$ là tam giác nhọn . $D$ là mọt điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $\angle{ADB} < 90^0 $ . Từ điểm $C$ kẻ các tiếp tuyến $CM,CN$ tới đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ ($M,N $ thuộc đường tròn ngoaoij tiếp tam giác $ABD$). Gọi $P,Q$ lầm lựot là trung điểm $CM,CN$ . Giả sử $PQ$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $E$. Lấy điểm $F$ trên đoạn thẳng $AE$ sao cho $\angle{EFC}= \angle{DAC}$ . Chứng minh rằng : $\angle{BEF}= \angle{BAC}$.

Câu 4: Có $19$ người xếp thành hàng vào xem một buổi biểu diễn ảo thuật. Phòng biểu diễn có đúng $19$ chiếc ghế được xếp thành hàng ngang và ảo thuật gia đánh sô chúng từ $1$ đến $19$ theo thứ tự từ trái qua phải. Sau đó anh ta phát cho mỗi ngừoi đến xem $1$ tấm vé có ghi một số từ $1$ đến $19$. Các vị khách được mời vào phòng biểu diễn theo thứ tự xếp hàng. Mỗi ngừoi đi vào sẽ đi thẳng đến chiếc ghế có số ghi trên tấm vé của mình. Nếu chiếc ghế này còn trống họ sẽ ngồi vào đó, nếu không họ sẽ đi tiếp và ngồi vào chiếc ghế đầu tiên vê bên phải chưa có người ngồi. Khi một vị khách đi đến chiếc ghế cuối cùng mà vẫn chưa có ghế để ngồi, họ sẽ bỏ về. Hỏi ảo thuật gia có bao nhiêu cách phát vé để cả $19$ vị khách sẽ ở lại xem buổi biểu diễn?

Nguồn: mathscope



#3 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 06-08-2017 - 21:26

Em xin đào lại topic chút:

Bài 3 ngày 1:

Gọi $Y,J$ là giao của $CF$ với tiếp tuyến tại $D$ của $(ABD)$ và $(ABD)$ 

Gọi $X$ là giao của $BJ$ với $(O)$, $AX$ cắt $BJ$ tại $L$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{ADB}{EXD} => A,X,G$ thẳng hàng

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{AJB}{BXF} => Y, L,T$ thẳng hàng

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{JDE}{DBF} => D,F,H$ thẳng hàng

$DM$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $I => BI // AF$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{ABD}{XFE}$ ta thu được $HN // AT (q.e.d)$

 

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-08-06 21:25:48.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 06-08-2017 - 21:32

HSGS in my heart  :icon12:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh