Chủ đề này có 6 trả lời

[tkvn97]

Bài toán (Trung Kiên) Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $A = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{2}$ là số chính phương . Chứng minh rằng a = b = c

[Oral1020]

Bài toán (Trung Kiên) Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $A = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{2}$ là số chính phương . Chứng minh rằng a = b = c

Thử nhá.Vì $A$ là số chính phương
$\Rightarrow$ $4A$ cũng phải là số chính phương
Ta có :$4A=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2$

Giả sử tồn tại số nguyên t sao cho $4A=t^{2}$
Ta có $(a+b)^2+3(a-b)^2=2t^2\Rightarrow 2(t^2+(a+b)^2)=3(a+b)^2+3(a-b)^2$. Suy ra $3\mid t$ và $3\mid a+b\Rightarrow 9\mid 3(a-b)^2\Rightarrow 3\mid a-b$
Vậy chỉ có a=b=c mới thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 02-11-2012 - 20:42

[tkvn97]

Thử nhá.Vì $A$ là số chính phương
$\Rightarrow$ $4A$ cũng phải là số chính phương
Ta có :$4A=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2$

Giả sử tồn tại số nguyên t sao cho $4A=t^{2}$
Ta có $(a+b)^2+3(a-b)^2=2t^2\Rightarrow 2(t^2+(a+b)^2)=3(a+b)^2+3(a-b)^2$. Suy ra $3\mid t$ và $3\mid a+b\Rightarrow 9\mid 3(a-b)^2\Rightarrow 3\mid a-b$
Vậy chỉ có a=b=c mới thỏa mãn

Lạp luận phần này chưa ổn

[Sagittarius912]

Bài toán (Trung Kiên) Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $A = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{2}$ là số chính phương . Chứng minh rằng a = b = c

A là số chính phương nên 4A cũng là số chính phương. ta có
$4A= (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$
Vì $4A\equiv 0(mod 4)\Rightarrow (a-b)^{2};(b-c)^{2};(c-a)^{2}$ phải đồng thời chia hết cho 4
Đặt $a-b=2x$
$b-c=2y$
$c-a=2z$
khi đó $A= x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=-(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab+bc+ca)=-2(-2A) \Rightarrow A=0 \Rightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 03-11-2012 - 17:39

[Oral1020]

A là số chính phương nên 4A cũng là số chính phương. ta có
$4A= (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$
Vì $4A\equiv 0(mod 4)\Rightarrow (a-b)^{2};(b-c)^{2};(c-a)^{2}$ phải đồng thời chia hết cho 4
Đặt $a-b=2x$
$b-c=2y$
$c-a=2z$
khi đó $A= x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=-(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab+bc+ca)=-2A \Rightarrow A=0 \Rightarrow a=b=c$

Nếu $(a-b)^2$ chia 4 dư 1;$(b-c)^2$ dư 2 còn $(c-a)^2$ chia 4 sư 1 thì sao
Có cả trường hợp cả 3 số đều không chia hết nhưng tổng vẫn chia hết
VD: $1+2+1=4\equiv 0(mod4)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 03-11-2012 - 12:32

[Sagittarius912]

Nếu $(a-b)^2$ chia 4 dư 1;$(b-c)^2$ dư 2 còn $(c-a)^2$ chia 4 sư 1 thì sao
Có cả trường hợp cả 3 số đều không chia hết nhưng tổng vẫn chia hết
VD: $1+2+1=4\equiv 0(mod4)$

bạn ơi, số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 thôi mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 03-11-2012 - 17:40

[triethuynhmath]

Sắp trật tự: Giả sử $a\geq b\geq c$
Có: $4A=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2$
Đặt $x=a-b,y=b-c,z=a-c$
Đặt $A=k^2$ Ta sẽ có: $(2k)^2=x^2+y^2+z^2$
Vậy: $x^2+y^2+z^2\vdots 4$
Mà 1 số chính phương chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ nên: $x^2,y^2,z^2\vdots 4\Rightarrow x,y,z\vdots 2$ $x^2,y^2,z^2\vdots 4\Rightarrow x,y,z\vdots 2\Rightarrow x=2x',y=2y',z=2z' (x\geq x',y\geq y',z\geq z')$
Vậy: $k^2=x'^2+y'^2+z'^2$
Ta có: Dễ dàng nhận thấy trong 3 số $x,y,z$ nếu có 2 số chẵn thì số còn lại cũng chẵn vì ta có: $z=x+y\Rightarrow z'=x'+y'$ Nên ta cũng có tương tự 3 số $x',y',z'$ có đặc điểm trên.
Vậy nếu $k^2\equiv 1( mod 4)\Rightarrow$ Trong 3 số $x'^2,y'^2,z'^2$ có 1 số chia hết cho 4 và 1 số không chia hết cho $4$ (Mâu thuẫn với đặc điểm trên). Vậy $k^2\vdots 4\Rightarrow k^2=4p^2$
Vậy: $4k'^2=x'^2+y'^2+z'^2(k'=\frac{k}{2},x'=\frac{x}{2},y'=\frac{y}{2},z'=\frac{z}{2}\Rightarrow x'\leq x,y'\leq y,z'\leq z)$
Nếu như ta có: $x=y=z=0$ thì có ngay đpcm.
Nếu như trong 3 số $x,y,z$ có một số $>0$ thì theo nguyên lí lùi vô hạn ta có với bộ số $pi,xi,yi,zi \geq 0$ thỏa (1) sao cho $xi+yi+zi$ Min thì theo như chứng minh trên ta có sẽ tồn tại bộ số: $p_{i+1},x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1}$ thỏa (1). Mà $x_{i+1}+y_{i+1}+z_{i+1}< xi+yi+zi$ (Mâu thuẫn) nên trường hợp này không xảy ra. Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 03-11-2012 - 18:34