3 replies to this topic

[Zaraki]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

[henry0905]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

x=0
$x\geq 1$ thì 2 cái tích có 1 cái chắn, 1 cái lẻ. Từ đó ta chỉ cần tìm a.b=105 sao cho a chẵn b lẻ rồi giải hệ.

Edited by henry0905, 03-11-2012 - 15:43.

[nguyenta98]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

Giải như sau:
Đặt $2x+5y+1=k \Rightarrow y=\dfrac{k-1-2x}{5}$
Khi ấy $k|105$ và $2^{|x|}+y+x+x^2=\dfrac{105}{k}$
Suy ra $2^{|x|}+\dfrac{k-1-2x}{5}+x+x^2=\dfrac{105}{k}$
Hay $2^{|x|}.5.k+(k-1-2x)k+(5x^2+5x)k=525 \Rightarrow (2^{|x|}.5-1).k+k^2+k(5x^2+3x)=525$
Do đó $k^2+k(5x^2+3x+2^{|x|}.5-1)-525=0$
Khi ấy $\Delta_k$ phải là số chính phương hay $(5x^2+3x+2^{|x|}.5-1)^2-2100$ phải là số chính phương
Do đó $\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2100=s^2$
Ta thấy $2^{|x|}.5-1-\dfrac{9}{20}>0$ do đó $5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1>0$ $(1)$
Như vậy nên $s^2<\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2$
Từ $(1)$ suy ra $s<5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1$
Giờ ta lại xét $\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1-1\right)^2=\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)+1$
Vì nếu $s>5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1-1$ khi đó $s$ bị kẹp giữa hai số tự nhiên liên tiếp, loại
Do đó $s\le 5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1-1$
Như vậy $s^2\le \left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)+1$
Hay $\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2100\le \left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)+1$
Do đó $2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)\le 2101$
Hay $5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\le 1050$
Như vậy $2^{|x|}.5\le 1051+\dfrac{9}{20} \Rightarrow 2^{|x|}.5<1052 \Rightarrow 2^{|x|}\le 2^7 \Rightarrow |x| \le 7$
Do đó $-7\le x\le 7$ nên đã dễ giải, trên đây là cách giải khá phức tạp, dùng cho bài toán tổng quát kiểu này, còn nếu làm thì nên làm như bạn henry0905

Edited by nguyenta98, 03-11-2012 - 16:09.

[rohupt]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

 

x=0
$x\geq 1$ thì 2 cái tích có 1 cái chắn, 1 cái lẻ. Từ đó ta chỉ cần tìm a.b=105 sao cho a chẵn b lẻ rồi giải hệ.

$ab=105$ thì làm sao có $a$ chẵn $b$ lẻ được hả anh?

Chi tiết như sau:

Từ phương trình có $2x+5y+1$ và $2^{|x|}+y+x+x^2$ đều là ước của 105 nên đều lẻ.

$+)\;\;$ $x=0$ thì y chẵn và $(5y+1)(y+1)=105$ nên mà $5y+1$ chia 5 dư 1 nên thuộc ${1;21}$ tìm được $y=4$ tmđb.

$+)\;\;$ $x \neq 0$ thì $2^x$ chẵn nên $5y+1$ lẻ nên $y$ chẵn. Lại có $x^2+x=x(x+1)$ chẵn nên $y$ lẻ, mâu thuẫn. Loại.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(0;4).$