Chủ đề này có 5 trả lời

[Be Strong]

Cho $x,y$>0 thỏa mãn $x+y\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}+4xy$

[Math Is Love]

Cho $x,y$>0 thỏa mãn $x+y\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}+4xy$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:
$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}\geq 4$
Mặt khác,theo BĐt AM-GM,ta có:
$\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2$
$\frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{(x+y)^2}\geq 1$
Cộng ba vế BĐT trên lại,ta có:
$P\geq 7$.Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
P/s:Bạn thông cảm,tớ "gà" nên chưa học đạo hàm.Híc!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 03-11-2012 - 18:19

[Be Strong]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:
$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}\geq 4$
Mặt khác,theo BĐt AM-GM,ta có:
$\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2$
$\frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{(x+y)^2}\geq 1$
Cộng ba vế BĐT trên lại,ta có:
$P\geq 7$.Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

bạn ơi, bài này mình dùng đạo hàm được ko? đặt xy = t

[Be Strong]

đc. nhưng làm như vậy là đơn giản nhất r

nếu bạn có thời gian bạn có thể trình bày cách dùng đạo hàm cho mình dk ko? mình ko giỏi phần này cho lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Be Strong: 03-11-2012 - 21:08

[Mai Xuan Son]

Cho $x,y$>0 thỏa mãn $x+y\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}+4xy$

Đạo hàm nè ^^
Ta có:
$\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{(x+y)^2-2xy}\geq \frac{1}{1-2xy}$
Đặt $t=xy$ thì $t\leq \frac{1}{4}$ do $x+y\leq 1$
nhân lên ta được:
$f(t)=\frac{1-t+4t^2-8t^3}{t-2t^2}$
suy ra $f'(t)=0$ thì $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất
........................
đây là phương pháp dồn về 1 biến rồi dùng đạo hàm để tính max,min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 03-11-2012 - 21:23

[Sagittarius912]

từ $x+y\leq 1\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
ta có:
$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy}+8xy-4xy\geq \frac{(1+1)^{2}}{(x+y)^{2}}+2\sqrt{\frac{1}{2xy}8xy}-4\times \frac{1}{4}=7$
vay min P=7 khi x=y=1/2