Chủ đề này có 4 trả lời

[diepviennhi]

Cho $xy+yz+zx=1$ Tìm GTNN của $P=\sum \frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}$

[tim1nuathatlac]

Cho $xy+yz+zx=1$ Tìm GTNN của $P=\sum \frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}$

Áp dụng $Cauchy-schwarz$ ta có

$P=\sum \frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}=\sum \frac{\left ( xy \right )^{2}}{\sqrt{xy}.\sqrt{2xyz^{2}+x^{2}y^{2}}}\geq^{AM-GM} \sum \frac{2x^{2}y^{2}}{xy+2xyz^{2}+x^{2}y^{2}}$

$\geq^{Cauchy-Schwarz} \frac{2\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{\left [ \sum x^{2}y^{2}+2xyz\left ( x+y+z \right ) \right ]+\sum xy}=1$

Vậy $MinP=1$ đạt được khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$$\square$

------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 03-11-2012 - 22:36

[Sagittarius912]

Cho $xy+yz+zx=1$ Tìm GTNN của $P=\sum \frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}$

@@ ức chế thiệt, mất gần 1 tiếng mới sửa xong cái mạng TT_TT. bài làm của tớ như sau:
Đặt xy=a; yz=b; zx=c
khi đó a+b+c=1 và $x^{2}= \frac{ac}{b}; y^{2}=\frac{ab}{c};z^{2}=\frac{cb}{a}$
khi đó:
$P=\sum \frac{a}{\sqrt{\frac{2bc}{a}+a}}=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{a}\sqrt{a^{2}+2bc}}\geq \sum \frac{(a)^{2}}{\frac{a+a^{2}+2bc}{2}}=1$
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
p/s: mình vẫn thắc mắc là đề có thiếu hay không? x,y,z phải dương chứ???

[Sagittarius912]

cách 2 : sử dụng bdt Holder ta có:
$P^{2}\times \sum xy(2z^{2}+xy)\geq (xy+yz+zx)^{3} \Rightarrow P^{2}\geq \frac{1^{3}}{(xy+yz+zx)^{2}}=1 \Rightarrow P\geq 1$
vay min P =1 khi x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 05-11-2012 - 17:48

[Sagittarius912]

cach 3: su dung AM-GM . ta co:
$\frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}+\frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}+xy(2z^{2}+xy)\geq 3xy$
làm tuơng tự ta có:$2P+(xy+yz+zx)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)\Rightarrow P\geq 1$
vay min cua P là 1 khi x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$