Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$
Bài toán 2.
Chứng minh $\forall x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$ ta luôn có bất đẳng thức:
$$\frac{x^2+2}{y}+\frac{y^2+2}{z}+\frac{z^2+2}{x}\geq 9$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-11-2012 - 08:13

[mylinhvo9997]

bài 2: x^{2} +2 = (x^{2}+1)+1\geq 2x +1
--> VT \geq $\frac{2x+1}{y}+\frac{2y+1}+{z}\frac{2z+1}{x}= 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 2.3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}+\frac{9}{x+y+z}\geq 6+\frac{9}{\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mylinhvo9997: 04-11-2012 - 10:37

[Sagittarius912]

Bài toán 2.
Chứng minh $\forall x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$ ta luôn có bất đẳng thức:
$$\frac{x^2+2}{y}+\frac{y^2+2}{z}+\frac{z^2+2}{x}\geq 9$$

$VT= \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{2}{y}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z}+\sum \frac{2}{y}\geq \sum \left ( x+\frac{1}{x} \right )+\sum \frac{1}{x}\geq 6+\sum \frac{1}{x}$
đến đây ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{x}\geq 3$
thật vậy ta có $\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( 1+1+1 \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{2}\Rightarrow (x+y+z)\leq 3\Rightarrow \frac{9}{x+y+z}\geq 3\Rightarrow \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 3$

vậy ta có đpcm, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 04-11-2012 - 11:55

[Katyusha]

Bài 1:

Dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
$$1- \dfrac{1}{1+bc}=\dfrac{bc}{1+bc}\le \dfrac{bc}{2\sqrt{bc}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{2}$$
Từ đó: $$3-VT \le \dfrac{\sqrt{ab}}{2}+\dfrac{\sqrt{bc}}{2}+\dfrac{\sqrt{ca}}{2}$$
Ta quy về chứng minh:
$$\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2} \le 3- \dfrac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$
Đặt $x=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ thì $\sqrt{3}<x\le 3$ và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\dfrac{x^2-3}{2}$
Và ta có:
$$\dfrac{x^2-3}{4} \le 3-\dfrac{9}{2x} \Leftrightarrow (x-3)(x^2+9x-6)\le 0 \tag{*}$$
Nhưng vì $\sqrt{3}<x\le 3$ nên $x-3\le 0$ và $x^2+9x-6 > 3+9.\sqrt{3}-6 >0$. Vậy {*} đúng. Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 04-11-2012 - 13:35