Chủ đề này có 2 trả lời

[mango]

Cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1. Tìm min của A,
A=$a^{a}.b^{b}.c^{c}$

[zipienie]

Từ $A=a^{a}.b^{b}.c^{c} \implies \ln A =a\ln a+b\ln b+c\ln c$
Xét hàm số $f(x)=x\ln x$ có $f'(x) =\ln x+1$ và $f''(x)=\dfrac{1}{x} >0$ nên hàm số $f(x)=x\ln x$ là hàm lõm
Ap dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số $f(x)=x\ln x$ thì ta có
$$\dfrac{f(a)+f(b)+f(c }{3} \geq f(\dfrac{a+b+c}{3})$$
Hay $$\dfrac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{3}\geq (\dfrac{a+b+c}{3}) \ln \dfrac{a+b+c}{3} =-\dfrac{\ln 3}{3}$$
Vậy min $A=e^{-\dfrac{\ln 3}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$

[xuanha]

Từ $A=a^{a}.b^{b}.c^{c} \implies \ln A =a\ln a+b\ln b+c\ln c$
Xét hàm số $f(x)=x\ln x$ có $f'(x) =\ln x+1$ và $f''(x)=\dfrac{1}{x} >0$ nên hàm số $f(x)=x\ln x$ là hàm lõm

hàm lồi chứ k phải lõm