Chủ đề này có 2 trả lời

[vinh1712]

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c =1$ Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{1+6a^{2}}+\frac{1}{1+6b^{2}}+\frac{1}{1+6c^{2}}\geq \frac{9}{5}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinh1712: 05-11-2012 - 12:43

[Gioi han]

Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c =1$ Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{1+6a^{2}}+\frac{1}{1+6b^{2}}+\frac{1}{1+6c^{2}}\geq \frac{9}{5}$$

Xét hàm số $f(x)=\frac{1}{1+6x^{2}}(C_{m})$
Ta có $a,b,c \geq 0,a+b+c=1 \Rightarrow a,b,c \in [0;1]$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C_{m})$ tại điểm có $A(\frac{1}{3},\frac{5}{3})$ là
$y=\frac{-25}{9}x+\frac{5}{3}$
Ta có :
$g(x)=f(x)- y=\frac{1}{6x^{2}+1} -\frac{25x}{6}+\frac{5}{3} \geq 0; x \in[0;1]$
Từ đó ta có điều phải chứng minh!

[KietLW9]

Lời giải. Không giảm tính tổng quát, giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

Xét 2 trường hợp:

* Trường hợp 1: $c\geqslant \frac{1}{12}$ thì $a,b\geqslant \frac{1}{12}$

Ta có: $\frac{1}{1+6c^2}-\frac{-36c+27}{25}=\frac{2(3c-1)^2(12c-1)}{25(1+6c^2)}\geqslant 0$ (đúng)

Tương tự với $a,b$ rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}\geqslant \frac{-36(a+b+c)+81}{25}=\frac{9}{5}$

* Trường hợp 2: $0\leqslant c<\frac{1}{12}$

Ta có: $\frac{1}{6b^2+1}-\frac{-24b+22}{25}=\frac{3(2b-1)^2(12b+1)}{25(6b^2+1)}\geqslant 0$ (đúng)

Tương tự với $a$ rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1}\geqslant \frac{-24(a+b)+44}{25}\Leftrightarrow\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1}+\frac{1}{6c^2+1}\geqslant \frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}$

Xét hiệu: $\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}-\frac{9}{5}=\frac{30c(24c^2-25c+4)}{125(6c^2+1)}\geqslant 0$ (đúng do $0\leqslant c<\frac{1}{12}$)

Vậy $\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1}+\frac{1}{6c^2+1}\geqslant \frac{9}{5}$

Tổng hợp lại ta có Min của biểu thức là $\frac{9}{5}$, đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=b=\frac{1}{2};c=0$ và các hoán vị