Chủ đề này có 1 trả lời

[Trần Đức Anh @@]

Bài toán: Tìm tất cả các tập hợp $A$ gồm hữu hạn các số thực không âm khác nhau sao cho:
(i) $A$ chứa ít nhất $4$ phần tử.
(ii) với $4$ phần tử khác nhau $a$, $b$, $c$, $d\in A$, ta có $ab+cd\in A$

[perfectstrong]

Lời giải:
Giả sử $0 \not \in A$. Gọi $4$ phần tử của $A$ là $0<a<b<c<d$.
\[
\begin{array}{l}
\left( {ad + bc} \right) - \left( {ac + bd} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {c - d} \right) < 0 \\
\left( {ab + cd} \right) - \left( {ad + bc} \right) = \left( {a - c} \right)\left( {b - d} \right) > 0 \\
\Rightarrow ad + bc < ac + bd < ab + cd \\
\end{array}
\]
Nếu $ad+bc;ac+bd;ab+cd$ không trùng lại $a,b,c,d$ trong $A$ thì từ đó, ta xây dựng được dãy $(x_n)$ tăng có vô hạn số hạng sao cho $x_n \in A$. Suy ra $A$ có vô hạn phần tử: trái gt là $A$ hữu hạn. Nên ta chỉ có các TH sau.
TH1:
\[
\begin{array}{l}
ad + bc = b \Rightarrow ac + bd = c;ab + cd = d \\
\Rightarrow b - d = \left( {ad + bc} \right) - \left( {ab + bc} \right) = \left( {c - a} \right)\left( {b - d} \right) \\
\Rightarrow b - d = 1 \\
\Rightarrow 0 = ab + cd - d = ab + b\left( {c - 1} \right) = a\left( {b + d} \right):\textrm{ vô lý} \\
\end{array}
\]
TH2: $ad+bc=a$. Nếu $ab+cd=c$ và $ac+bd=b$ thì giải quyết như TH1.
Xét $ab+cd=d$, ta có thể cho $ac+bd=b$ (TH khác cm tương tự)
\[
\begin{array}{l}
a - b = \left( {ad + bc} \right) - \left( {ac + bd} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {c - d} \right) \\
\Rightarrow d - c = 1 \\
\Rightarrow 0 = ac + bd - b = ac + b\left( {d - 1} \right) = c\left( {a + b} \right):\textrm{ vô lý} \\
\end{array}
\]
Tóm lại, nếu $0<a<b<c<d$ thì không tồn tại $A$. Do đó $a=0$. Xét $0<b<c<d$ với $b,c,d \in A$.
Nếu $cd=d$ thì $c=1$. Suy ra $bd=1$. Tìm được $A=\lbrace 0;\dfrac{1}{2};1;2 \rbrace$. Nếu $cd=c$ thì tương tự.
Kết luận: $$A=\lbrace 0;\dfrac{1}{2};1;2 \rbrace$$