Chủ đề này có 3 trả lời

[kunkute]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+z^{2}=1 & \\ y^{2}+2y(x+z)=6& \end{matrix}\right.$
Tìm min :$T=y(z-x)$

[hxthanh]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+z^{2}=1 & \\ y^{2}+2y(x+z)=6& \end{matrix}\right.$
Tìm min :$T=y(z-x)$

Bài này "dã man" phết!

Nếu $x=z\Rightarrow T=0$
Xét trường hợp $x\ne z$ tức $T\ne 0$

Khi đó $y=\dfrac{T}{z-x}$ thay vào phương trình thứ $2$ ta được
$\dfrac{T^2}{1-2xz}-\dfrac{2T(x^2-z^2)}{1-2xz}=6\quad(*)$

Đặt $x=\cos\alpha,\quad z=\sin\alpha$
Thì $(*)$ có thể biến đổi thành

$6\sin 2\alpha-2T\cos 2\alpha=6-T^2$

Nhớ lại một chút về phương trình lượng giác $A\cos x+B\sin x =C\quad(\bullet)$
Điều kiện cần và đủ để $(\bullet)$ có nghiệm là $A^2+B^2\ge C^2$

Vì thế suy ra ta có: $36+4T^2\ge (6-T^2)^2\Leftrightarrow T^2(T^2-16)\le 0 \Rightarrow -4 \le T \le 4$
$T=-4$ khi nào?
Ta giải hệ $\begin{cases} x^2+z^2=1 \\ y^2+2y(x+z)=6 \\ y(z-x)=-4\end{cases}$
sẽ được các nghiệm
là $(x,y,z)\in\left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;\sqrt{10},\;-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right);\quad\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;-\sqrt{10},\;\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)\right\}$

Kết luận $\boxed{\min T=-4}$ (tương tự $\max T=4$)

[kunkute]

Bài này "dã man" phết!

Nếu $x=z\Rightarrow T=0$
Xét trường hợp $x\ne z$ tức $T\ne 0$

Khi đó $y=\dfrac{T}{z-x}$ thay vào phương trình thứ $2$ ta được
$\dfrac{T^2}{1-2xz}-\dfrac{2T(x^2-z^2)}{1-2xz}=6\quad(*)$

Đặt $x=\cos\alpha,\quad z=\sin\alpha$
Thì $(*)$ có thể biến đổi thành

$6\sin 2\alpha-2T\cos 2\alpha=6-T^2$

Nhớ lại một chút về phương trình lượng giác $A\cos x+B\sin x =C\quad(\bullet)$
Điều kiện cần và đủ để $(\bullet)$ có nghiệm là $A^2+B^2\ge C^2$

Vì thế suy ra ta có: $36+4T^2\ge (6-T^2)^2\Leftrightarrow T^2(T^2-16)\le 0 \Rightarrow -4 \le T \le 4$
$T=-4$ khi nào?
Ta giải hệ $\begin{cases} x^2+z^2=1 \\ y^2+2y(x+z)=6 \\ y(z-x)=-4\end{cases}$
sẽ được các nghiệm
là $(x,y,z)\in\left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;\sqrt{10},\;-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right);\quad\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\;-\sqrt{10},\;\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)\right\}$

Kết luận $\boxed{\min T=-4}$ (tương tự $\max T=4$)

Bài này có cách khác không sử dụng lượng giác không thầy?,em ms học lớp 10 nên chưa học nhiều về lg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kunkute: 07-11-2012 - 17:13

[BoBoiBoy]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+z^{2}=1 & \\ y^{2}+2y(x+z)=6& \end{matrix}\right.$
Tìm min :$T=y(z-x)$

Bài này có cách khác không sử dụng lượng giác không thầy? ,em ms học lớp 10 nên chưa học nhiều về lg

Ta có:$$y^2+2y(x+z)=6$$
$$\Leftrightarrow 5y^2+10y(x+z)=30$$
$$\Leftrightarrow \left [y^2+10y(x+z)+25(x+z)^2 \right ]+[4y^2+25(x-z)^2]=80$$
(do $x^2+z^2=1$ nên $25(x+z)^2+25(x-z)^2=50$)
Nhận thấy:$$y^2+10y(x+z)+25(x+z)^2=(y+5(x+z))^2\ge 0$$
$$4y^2+25(x-z)^2\ge 20\left |y(z-x) \right |$$
nên $$80\ge 20\left |y(z-x) \right |\Rightarrow 4\ge \left | y(z-x) \right |\Rightarrow y(z-x)\ge -4$$.
Dấu bằng xảy ra ví dụ khi $x=\frac{1}{-\sqrt{10}};y=\sqrt{10};z=\frac{-3}{\sqrt{10}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoBoiBoy: 07-11-2012 - 22:07