Chủ đề này có 3 trả lời

[diepviennhi]

Cho 3 số dương x,y,z có xyz=1 Chứng minh $\frac{x}{z^{2}}+\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

[ngovtbx]

Cho 3 số dương x,y,z có xyz=1 Chứng minh $\frac{x}{z^{2}}+\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\frac{x}{z^{2}}+\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x} \geq x^2 +y^2 + z^2 $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:
$( \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x})( \frac{x^2z}{y} + \frac{y^2x}{z} + \frac{z^2x}{y}) \geq (x^2+y^2+z^2)^2$
Không mất tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$
Ta có:
$\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x} - \frac{x^2z}{y} - \frac{y^2x}{z} - \frac{z^2x}{y} = \frac{(xy+yz+zx)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x} \geq \frac{x^2z}{y} + \frac{y^2x}{z} + \frac{z^2x}{y}$
$\Rightarrow (\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x})^2 \geq (x^2+y^2+z^2)^2$
$\Rightarrow dpcm$

[Secrets In Inequalities VP]

$\frac{x}{z^{2}}+\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x} \geq x^2 +y^2 + z^2 $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:
$( \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x})( \frac{x^2z}{y} + \frac{y^2x}{z} + \frac{z^2x}{y}) \geq (x^2+y^2+z^2)^2$
Không mất tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$
Ta có:
$\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x} - \frac{x^2z}{y} - \frac{y^2x}{z} - \frac{z^2x}{y} = \frac{(xy+yz+zx)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x} \geq \frac{x^2z}{y} + \frac{y^2x}{z} + \frac{z^2x}{y}$
$\Rightarrow (\frac{x^2y}{z} + \frac{y^2z}{x} + \frac{z^2y}{x})^2 \geq (x^2+y^2+z^2)^2$
$\Rightarrow dpcm$

Sai! Không thể giả sử thế này !

[WhjteShadow]

Bất đẳng thức đề ch0 là sai!
Mình sửa lại đề là $x,y,z$ là 3 cạnh tam giác có tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\geq x^2+y^2+z^2$$
Và thực ra đây chỉ là hệ quả của bài toán Olympic Moldova 2006:
Chứng minh bất đẳng thức với $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác:
$$a^2.\left(\frac{b}{c}-1\right)+b^2.\left(\frac{c}{a}-1\right)+c^2.\left(\frac{a}{b}-1\right)\geq 0$$