Chủ đề này có 3 trả lời

[L Lawliet]

Làm một bài nhẹ nhàng giải trí xí nhỉ mọi người , mấy bạn post bài khó quá nhìn thấy choáng .
=========
Bài toán: Cho phương trình $x^{3}+ax^{2}+x+b=0$ có ba nghiệm dương phân biệt và gọi ba nghiệm đó lần lượt là $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$. Chứng minh rằng $\dfrac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}+\dfrac{x_{2}^{3}}{x_{2}+x_{1}}+\dfrac{x_{3}^{3}}{x_{1}+x_{2}}>\dfrac{1}{2}$.

[Sagittarius912]

sai thì thôi nhé .
áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}x_{3}=-b \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a \\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}= 1 \end{matrix}\right.$
áp dụng bđt Chebyshez vào vế trái của bđt cần chứng minh ta có
$VT\geq \frac{1}{3}(\sum x_{1}^{3})(\sum \frac{1}{x_{2}+x_{3}})$
mặt khác áp dụng bđt Holder ta có
$(\sum x_{1}^{3})(1+1+1)(1+1+1)\geq (\sum x_1)^{3}$
và theo C-S
$\sum \frac{1}{x_{2}+x_{3}}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{2\sum x_{1}}$
từ các bđt trên ta cần chứng minh $\frac{1}{3}\frac{(-a)^{3}}{9}\frac{9}{-2a}\geq \frac{1}{2}$
hay $a^{2} \geq 3$
mà ta có $\sum x_{1}^{2}\geq \sum x_{1}x_{2} \Rightarrow (\sum x_{1})^{2}\geq 3\sum x_{1}x_{2}= 1$
như vậy ta có $\sum \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}\geq \frac{1}{2}$
mà dấu "=" không thể xảy ra nên ta có đ.p.c.m

[L Lawliet]

sai thì thôi nhé .
áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}x_{3}=-b \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a \\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}= 1 \end{matrix}\right.$
áp dụng bđt Chebyshez vào vế trái của bđt cần chứng minh ta có
$VT\geq \frac{1}{3}(\sum x_{1}^{3})(\sum \frac{1}{x_{2}+x_{3}})$
mặt khác áp dụng bđt Holder ta có
$(\sum x_{1}^{3})(1+1+1)(1+1+1)\geq (\sum x_1)^{3}$
và theo C-S
$\sum \frac{1}{x_{2}+x_{3}}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{2\sum x_{1}}$
từ các bđt trên ta cần chứng minh $\frac{1}{3}\frac{(-a)^{3}}{9}\frac{9}{-2a}\geq \frac{1}{2}$
hay $a^{2} \geq 3$
mà ta có $\sum x_{1}^{2}\geq \sum x_{1}x_{2} \Rightarrow (\sum x_{1})^{2}\geq 3\sum x_{1}x_{2}= 1$
như vậy ta có $\sum \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}\geq \frac{1}{2}$
mà dấu "=" không thể xảy ra nên ta có đ.p.c.m

Bài này chọn đội tuyển của tỉnh mình, post lên mới thấy có anh kia post đề rồi lời giải của bài này ở đây.

[Sagittarius912]

Bài này chọn đội tuyển của tỉnh mình, post lên mới thấy có anh kia post đề rồi lời giải của bài này ở đây.

hì, ngại thật, cách mình hơi dài thì phải
----
@Gin: Dài thì có sao đâu nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 07-11-2012 - 21:23