Chủ đề này có 5 trả lời

[CelEstE]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30$

[Joker9999]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30$

Giải như sau:
Phương trình đã cho tương đương với
$3xy(x-y)+3xz(z-x)+3yz(y-z)=0\Leftrightarrow xy(x-y)+yz(y-z)-xz[(x-y)+(y-z)]=0\Leftrightarrow (x-y)x(y-z)+(y-z)z(y-x)=0\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(x-z)=0$.
Từ đó ta có nghiệm của pt khi 2 biến=0, biến còn lại bất kì

[MazacarJin15]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30$

Sử dụng đẳng thức : $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+8(a+b)(b+c)(c+a)$
Suy ra : $ -4(x-z)(z-y)(y-x)=15 $
Mặt khác vì $(4;15)=1$ suy ra $(x-y)(x-z)(z-y)|15$
Tới đây giải phương trình ước ngon lành rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MazacarJin15: 08-11-2012 - 22:47

[MazacarJin15]

Giải như sau:
Phương trình đã cho tương đương với
$3xy(x-y)+3xz(z-x)+3yz(y-z)=0\Leftrightarrow xy(x-y)+yz(y-z)-xz[(x-y)+(y-z)]=0\Leftrightarrow (x-y)x(y-z)+(y-z)z(y-x)=0\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(x-z)=0$.
Từ đó ta có nghiệm của pt khi 2 biến=0, biến còn lại bất kì

Cậu nhầm đề bài rồi thì phải

[Joker9999]

Cậu nhầm đề bài rồi thì phải

Sorry, nhìn lộn, mình sẽ sửa

[Joker9999]

Giải như sau:
Phương trình đã cho tương đương với
$3xy(x-y)+3xz(z-x)+3yz(y-z)=0\Leftrightarrow xy(x-y)+yz(y-z)-xz[(x-y)+(y-z)]=0\Leftrightarrow (x-y)x(y-z)+(y-z)z(y-x)=0\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(x-z)=0$.
Từ đó ta có nghiệm của pt khi 2 biến=0, biến còn lại bất kì

Sửa lại như sau:
(x-y)(y-z)(x-z)=-10.
Ta thấy x-y+y-z=x-z, mặt khác do 3 số này đều thuộc ước của 10 nên chúng là hoán vị của (1,2,-5) hoặc (1,-1,10),hoặc...... Nhưng ko có 2 số nào = tổng 2 số còn lại=> PT vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 08-11-2012 - 23:01