Jump to content

Photo

1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$


  • Please log in to reply
2 replies to this topic

#1
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 posts
1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$
2) Cho $n,d$ là các số nguyên dương sao cho $d |2n^2$
CMR : $n^2 + d$ không là số chính phương
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#2
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 posts

2) Cho $n,d$ là các số nguyên dương sao cho $d |2n^2$
CMR : $n^2 + d$ không là số chính phương

$d$ là ước của $2n^2$ nên $d = \frac{2n^2}{k}$ với $k$ nguyên dương.
Giả sử $n^2 + d = m^2$, ta sẽ chứng minh điều này vô lý. Thật vậy :
$n^2 + d = m^2$
$\Leftrightarrow \frac{2n^2}{k} + n^2 = m^2$
$\Leftrightarrow n^2(k+2) = m^2k$
$\Leftrightarrow n^2(k^2+2k) = (mk)^2$
$\Leftrightarrow k^2+2k:scp$
Mà ta có $(k+1)^2 > k^2 + 2k > k^2$ nên điều trên là vô lý. Vậy $n^2+d$ không thể là scp (đpcm)!

#3
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 posts

1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$

Giải như sau:
Với mỗi n$\geq 1$ thì khi phân tích n! dưới dạng tiêu chuẩn thì số mũ của 2 là:
$\left [ \frac{n}{2} \right ]+\left [ \frac{n}{4} \right ]+...+1\leq \frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...+1=n(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n})=n(1-\frac{1}{n})$
Vậy số mũ của 2 khi phân tích n! dưới dạng tiêu chuẩn<n=> n! không chia hết cho $2^n$

Edited by BlackSelena, 14-11-2012 - 12:01.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.




1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users