1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$
2) Cho $n,d$ là các số nguyên dương sao cho $d |2n^2$
CMR : $n^2 + d$ không là số chính phương
1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$
Started By yeutoan11, 13-11-2012 - 21:57
#1
Posted 13-11-2012 - 21:57
- BlackSelena and 19kvh97 like this
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#2
Posted 13-11-2012 - 22:09
$d$ là ước của $2n^2$ nên $d = \frac{2n^2}{k}$ với $k$ nguyên dương.2) Cho $n,d$ là các số nguyên dương sao cho $d |2n^2$
CMR : $n^2 + d$ không là số chính phương
Giả sử $n^2 + d = m^2$, ta sẽ chứng minh điều này vô lý. Thật vậy :
$n^2 + d = m^2$
$\Leftrightarrow \frac{2n^2}{k} + n^2 = m^2$
$\Leftrightarrow n^2(k+2) = m^2k$
$\Leftrightarrow n^2(k^2+2k) = (mk)^2$
$\Leftrightarrow k^2+2k:scp$
Mà ta có $(k+1)^2 > k^2 + 2k > k^2$ nên điều trên là vô lý. Vậy $n^2+d$ không thể là scp (đpcm)!
- yeutoan11, nguyenta98, Tru09 and 1 other like this
#3
Posted 13-11-2012 - 22:14
Giải như sau:1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$
Với mỗi n$\geq 1$ thì khi phân tích n! dưới dạng tiêu chuẩn thì số mũ của 2 là:
$\left [ \frac{n}{2} \right ]+\left [ \frac{n}{4} \right ]+...+1\leq \frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...+1=n(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n})=n(1-\frac{1}{n})$
Vậy số mũ của 2 khi phân tích n! dưới dạng tiêu chuẩn<n=> n! không chia hết cho $2^n$
Edited by BlackSelena, 14-11-2012 - 12:01.
- yeutoan11 and BlackSelena like this
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users