Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoan11]

1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$
2) Cho $n,d$ là các số nguyên dương sao cho $d |2n^2$
CMR : $n^2 + d$ không là số chính phương

[BlackSelena]

2) Cho $n,d$ là các số nguyên dương sao cho $d |2n^2$
CMR : $n^2 + d$ không là số chính phương

$d$ là ước của $2n^2$ nên $d = \frac{2n^2}{k}$ với $k$ nguyên dương.
Giả sử $n^2 + d = m^2$, ta sẽ chứng minh điều này vô lý. Thật vậy :
$n^2 + d = m^2$
$\Leftrightarrow \frac{2n^2}{k} + n^2 = m^2$
$\Leftrightarrow n^2(k+2) = m^2k$
$\Leftrightarrow n^2(k^2+2k) = (mk)^2$
$\Leftrightarrow k^2+2k:scp$
Mà ta có $(k+1)^2 > k^2 + 2k > k^2$ nên điều trên là vô lý. Vậy $n^2+d$ không thể là scp (đpcm)!

[Joker9999]

1) Chứng minh rằng $\forall n\ge 1$ $n!$ không chia hết cho $2^n$

Giải như sau:
Với mỗi n$\geq 1$ thì khi phân tích n! dưới dạng tiêu chuẩn thì số mũ của 2 là:
$\left [ \frac{n}{2} \right ]+\left [ \frac{n}{4} \right ]+...+1\leq \frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...+1=n(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n})=n(1-\frac{1}{n})$
Vậy số mũ của 2 khi phân tích n! dưới dạng tiêu chuẩn<n=> n! không chia hết cho $2^n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 14-11-2012 - 12:01