Chủ đề này có 1 trả lời

[minhquan9909]

Tìm $f:R \rightarrow R$ liên tục tại $0$ thoả $$ f(2x)=f(x)\cos{x}$$

[phudinhgioihan]

Tìm $f:R \rightarrow R$ liên tục tại $0$ thoả $$ f(2x)=f(x)\cos{x}$$

Hic. Cái đề thi giữa kỳ năm I của mình sao gặp hoài vậy ta @@

Từ giả thiết

$f(x) = f\left( \dfrac{x}{2} \right) \cos\left( \dfrac{x}{2} \right) = f\left( \dfrac{x}{4} \right) \cos\left( \dfrac{x}{2} \right) \cos\left( \dfrac{x}{4} \right) =\cdots= f\left( \dfrac{x}{2^n} \right) \prod\limits_{i=1}^n \cos \dfrac{x}{2^i}, \; \forall n \in \mathbb{N}^* $

$\Leftrightarrow 2^n \sin \left( \dfrac{x}{2^n} \right) f(x) = f\left( \dfrac{x}{2^n} \right) \sin x $

$\Leftrightarrow x \dfrac{\sin \dfrac{x}{2^n}}{\dfrac{x}{2^n}} f(x) = f\left( \dfrac{x}{2^n}\right) \sin x $

Cho $n \rightarrow + \infty $ và do $f$ liên tục tại 0 nên

$ x f(x)=f(0) \sin x $

Thử lại $ f(x)= a \dfrac{\sin x}{x} ,\; a \in \mathbb{R} $ thỏa mãn đề bài