Chủ đề này có 1 trả lời

[linh1261997]

Cho m,n là 2 số nguyên dương , m lẻ
chưng minh rằng : $\left ( 2^{m} -1;2^{n}+1\right )=1$

[nguyenta98]

Cho m,n là 2 số nguyên dương , m lẻ
chưng minh rằng : $\left ( 2^{m} -1;2^{n}+1\right )=1$

Giải như sau:
Bổ đề: (Quen thuộc) $a^x-1 \vdots p,a^y-1 \vdots p$ với $y$ nhỏ nhất thì $x \vdots y$
Giả sử $2^m-1 \vdots p$ và $2^n+1 \vdots p$ với $p$ nguyên tố
Khi ấy $2^{2n}-1 \vdots p$ gọi $h$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa $2^h-1 \vdots p$
Do đó $m \vdots h$ và $2n \vdots h$ mà $m$ lẻ nên $h$ lẻ do đó $gcd(2,h)=1$ nên $n \vdots h \Rightarrow n=hk$
Lại có $2^n+1=2^{hk}+1=2^{hk}-1+2$ thấy $2^{hk}-1 \vdots 2^h-1 \vdots p$ mà $2^n+1 \vdots p$ nên $2 \vdots p$ nên $p=2$ vô lí do $2^m-1,2^n+1$ lẻ
Vậy có $gcd(2^m-1,2^n+1)=1$

P/S đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-11-2012 - 22:10