Chủ đề này có 2 trả lời

[duongvanhehe]

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+6\geq 4.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

[WhjteShadow]

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+6\geq 4.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh:
$$\frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \frac{a^4}{a^2b^2+b^2+c^2a^2}\,\,(*)$$
Thật vậy nếu $a=0$ thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Nếu $a>0$ thì ta có:
$$\frac{a^2}{b^2+c^2}=\frac{a^4}{a^2b^2+a^2c^2}\geq \frac{a^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$
Vậy ta có bất đẳng thức $(*)$. Tương tự và cộng lại thì:
$$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+6\geq \frac{a^4+b^4+c^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}+6$$
$$=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2+c^2a^2}+4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)^2}+4$$
$$\geq_{AM-GM} 4\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $a=b,c=0$ và các hoán vị tương ứng $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-11-2012 - 11:13

[barcavodich]

ta có 1 bđt liên quan
$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq\sum \frac{a}{b+c}$
với a,b,c không âm