Chủ đề này có 2 trả lời

[mchkp2000]

$Cho a,b,c> 0, CM:\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mchkp2000: 16-11-2012 - 22:43

[mchkp2000]

$Cho a,b,c> 0, CM:\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\geq 4$

bài này khó không nhỉ? mình làm hoài không ra

[duongvanhehe]

bài này khó không nhỉ? mình làm hoài không ra

Áp dụng trực tiếp AM-GM thôi:
$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\geq 4\sqrt[4]{\left ( \frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}} \right )^3.\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}}$
Nên ta cần chứng minh:
$\left ( \frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}} \right )^3.\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq 1\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^6}{(3^6a^2b^2c^2}.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq 1$
Ta có:
$\frac{(a+b+c)^6}{3^6a^2b^2c^2}.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{(a+b+c)^6(ab+bc+ca)}{3^3(ab+bc+ca)^3(a^2+b^2+c^2)}$
$=\frac{\left ( \frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}{3} \right )^3}{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}\geq 1$