Chủ đề này có 4 trả lời

[no matter what]

Bài 1: Chứng minh với mọi a,b,c không âm,không có 2 số nào đồng thời bằng không
$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$
Bài 2 : .Chứng minh với mọi a,b,c không âm
$\frac{1}{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}-\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \frac{1}{3}$

[Joker9999]

Bài 2 : .Chứng minh với mọi a,b,c không âm
$\frac{1}{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}-\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \frac{1}{3}$

Bài này khá đơn giản
Giải như sau:
Nhân tung lên ta được đpcm tương đương với:
$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{ab+ac+bc+2(a+b+c)+3}-\frac{abc}{ac+ac+bc}\geq \frac{1}{3}$
Đến đây đặt x=a+b+c,y=ab+ac+bc,z=abc ta có điều trên tương đương với:$3xy+2y^2\geq 6xz+9z$
Điều này đúng do $(ac+ab+bc)^2\geq 3abc(a+b+c);(a+b+c)(ab+ac+bc)\geq 9abc$( theo AM-GM)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

[Joker9999]

Bài 1: Chứng minh với mọi a,b,c không âm,không có 2 số nào đồng thời bằng không
$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$

Đây là 1 bài toán khá hay. Nó là hệ quả của 1 BDT của anh Phạm Kim Hùng
Giải như sau:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\sum \frac{bc}{a^2+bc}\geq 3$

+++)
Theo Cauchy-Schwarz thì $\sum \frac{bc}{a^2+bc}\geq\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc(a+b+c)+\sum b^2c^2}\geq 1$
+++)
Ta chưng minh:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc}\geq 2$ (*)
Xét khai triển sau:
$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geq 0\Leftrightarrow \sum a^4(b^2+c^2)+2abc\sum a^2(b+c)\geq 2\sum a^3b^3+6a^2b^2c^2+2abc\sum a^3$
(*)$\Leftrightarrow \sum a(b+c)(c^2+ab)(b^2+ac)\geq 2(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)\Leftrightarrow 2abc\sum a^2(b+c)+\sum a^4(b^2+c^2)+abc\sum a^2(b+c)\geq 4a^2b^2c^2+2\sum a^3b^3+2abc\sum a^3$
Kết hợp khai triển trên và $2a^2b^2c^2+abc\sum a^2(b+c)\geq 0$ ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b,c=0 hoặc các hoán vị
Chứng minh của ta được hoàn tất.

[duongvanhehe]

Bài 1: Chứng minh với mọi a,b,c không âm,không có 2 số nào đồng thời bằng không
$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$

Giả sử $a$ là số lớn nhất trong $a,b,c$ .1
TH1:
$a\leq b+c$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{1}{a(b+c)+bc}+\frac{1}{ab+ca}+\frac{1}{ac+ab}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$
TH2:
$a\geq b+c$
$\Rightarrow a^2+bc\leq \frac{a}{b+c}\left ( a(b+c)+bc \right )\Rightarrow \frac{1}{a^2+bc}\geq \frac{b+c}{a(ab+bc+ca)}$
$b^2+ca+c^2+ab\leq (b+c)^2+a(b+c)=\frac{b+c}{a}.a(b+c)+a(b+c)\leq \frac{a+b+c}{a}(ab+bc+ca)$
nên $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{1}{a^2+bc}+\frac{4}{b^2+c^2+ab+ac}$
$\geq \frac{b+c}{a(ab+bc+ca)}+\frac{4a}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$=\frac{1}{ab+bc+ca}\left ( 3+\frac{(a-b-c)^2}{a(a+b+c)} \right )\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$
Vậy trong cả 2 TH ta đều có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi trong $a,b,c$ có 1 số bằng $ 0 $ ,2 số bằng nhau.

[WhjteShadow]

^^~

' '~

Tặng 2 người 1 bài đẹp hơn và khó hơn ^^~
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{81a^2b^2c^2}{2(a^2+b^2+c^2)^4}$$