Chủ đề này có 3 trả lời

[coolcoolcool1997]

Cho $x,y>0$
$(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2012$
Tìm $min(x+y)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi coolcoolcool1997: 17-11-2012 - 12:33

[thanhluong]

Cho $x,y>0$
$(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2012$
Tìm $min(x+y)$

Đặt $x+\sqrt{1+x^2}=k \Rightarrow y+\sqrt{1+y^2}=\frac{2012}{k}$
Ta có $\sqrt{1+x^2}=k-x$
$\Leftrightarrow 1+x^2=k^2-2kx+x^2$
$\Leftrightarrow k(k-2x)=1$
$\Leftrightarrow k-2x=\frac{1}{k}$
$\Leftrightarrow x = \frac{k^2-1}{2k}$
Lại có: $\sqrt{y^2+1} = \frac{2012}{k}-y$
$\Leftrightarrow y^2+1=\frac{2012^2}{k^2}-\frac{4024y}{k}+y^2$
$\Leftrightarrow \frac{4024y}{k}=\frac{2012^2}{k^2}-1=\frac{2012^2-k^2}{k^2}$
$\Leftrightarrow y = \frac{2012^2-k^2}{k^2} \cdot \frac{k}{4024} = \frac{2012^2-k^2}{4024k}$
Do đó $x+y=\frac{2012k^2-2012+2012^2-k^2}{4024k}=\frac{2011k^2+2012^2-2012}{4024k}$
$=\frac{2011k}{4024} \cdot k + \frac{2012^2-2012}{4024k} \geq 2\sqrt{\frac{2011k \cdot (2012^2-2012)}{4024k}}=2\sqrt{\frac{2011 \cdot 2012 \cdot 2011}{4024}} = 2 \cdot \frac{2011}{\sqrt{2}}=2011\sqrt{2}$

[coolcoolcool1997]

Hoan hô, bạn làm đúng rồi, chỉ có điều đoạn cuối biến đổi hình như sai một chút đó!!!
Đoạn cuối dùng AM-GM hơi trục trặc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi coolcoolcool1997: 17-11-2012 - 20:59

[BoFaKe]

Đặt $x+\sqrt{1+x^2}=k \Rightarrow y+\sqrt{1+y^2}=\frac{2012}{k}$
Ta có $\sqrt{1+x^2}=k-x$
$\Leftrightarrow 1+x^2=k^2-2kx+x^2$
$\Leftrightarrow k(k-2x)=1$
$\Leftrightarrow k-2x=\frac{1}{k}$
$\Leftrightarrow x = \frac{k^2-1}{2k}$
Lại có: $\sqrt{y^2+1} = \frac{2012}{k}-y$
$\Leftrightarrow y^2+1=\frac{2012^2}{k^2}-\frac{4024y}{k}+y^2$
$\Leftrightarrow \frac{4024y}{k}=\frac{2012^2}{k^2}-1=\frac{2012^2-k^2}{k^2}$
$\Leftrightarrow y = \frac{2012^2-k^2}{k^2} \cdot \frac{k}{4024} = \frac{2012^2-k^2}{4024k}$
Do đó $x+y=\frac{2012k^2-2012+2012^2-k^2}{4024k}=\frac{2011k^2+2012^2-2012}{4024k}$
$=\frac{2011k}{4024} \cdot k + \frac{2012^2-2012}{4024k} \geq 2\sqrt{\frac{2011k \cdot (2012^2-2012)}{4024k}}=2\sqrt{\frac{2011 \cdot 2012 \cdot 2011}{4024}} = 2 \cdot \frac{2011}{\sqrt{2}}=2011\sqrt{2}$

Cái $k$ ở đây đi đâu rồi